Длина кривой

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление). Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.

Определение

Евклидово пространство

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных. Для наглядности рассмотрим трёхмерное пространство. Пусть непрерывная кривая $\gamma$ задана параметрически:

$x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad\qquad$,

(1)

Приближение кривой ломаными

где $~a \leqslant t \leqslant b$. Рассмотрим всевозможные разбиения интервала значений параметра $[a,b]$ на $m$ отрезков: $~a=x_0<x_1<\dots<x_m=b$. Соединив точки кривой $~\gamma(x_0), \dots, \gamma(x_m)$ отрезками прямых, мы получим ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Всякая непрерывная кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна. В математическом анализе выводится формула для вычисления длины $s$ отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

$s=\int\limits_a^b \sqrt{{x'}^2(t) + {y'}^2(t) + {z'}^2(t)}\, dt$

(2)

Формула подразумевает, что $a \leqslant b$ и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

$s=\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n {f'_k}^2 (t)} \, dt$.

Можно также вычислить длину кривой $\gamma$ через криволинейный интеграл I рода:

$s= \int\limits_\gamma d\gamma$

Длина дуги как параметр

Кривая допускает бесчисленное множество различных способов параметрического задания уравнениями вида (1). Среди них особое значение имеет так называемая естественная параметризация, когда параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.

Среди преимуществ такой параметризации:

1. Производная радиус-вектора $\frac{d\mathbf{r}} {dt}$ имеет единичную длину и поэтому совпадает с единичным вектором касательной.
2. $\frac{d^2\mathbf{r}} {dt^2}$ по длине совпадает с кривизной кривой, а по направлению — с её главной нормалью.

Евклидова плоскость

Если плоская кривая задана уравнением $y=f(x),$ то её длина равна:

$s=\int\limits_a^b \sqrt{1 + {f'}^2(x)}\, dx.$

В полярных координатах $(r, \varphi):$

$s=\int\limits_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2} \, d\varphi.$

Риманово пространство

В n-мерном римановом пространстве с координатами $x^1 \cdots x^n$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

$x^i=x^i(t) \qquad\qquad$,

((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

$s = \int\limits_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}\,dt$,

где : $g_{ij}$ — метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в $\mathbb{R}^3$.

Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства $(X,\rho)$ длиной $S$ кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой $\gamma:[a,b]\to X$ определяется согласно формуле:

$s=\sup \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),$

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям $a=x_0<x_1<\dots<x_m=b$ отрезка $[a,b]$.

История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямым и кривым неизвестно, и даже, думаю, не может быть познано людьми».

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

См. также

• Дифференциальная геометрия кривых
• Объём
• Определённый интеграл
• Площадь
• Дуга окружности
• Кривая Пеано

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

Примечания

1. ↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.