- Кривая Коха
-
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2011.Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.
Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.
Содержание
Построение
Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.
Пример скрипта(PHP)<?php set_time_limit(3); $x = 600; // Длина рисунка $y = 200; // Высота рисунка $r = 10; // Рамка $i = 4; // Количество итераций define("PI", 3.14159265358979323846); $img = imagecreate($x, $y); $black = imagecolorallocate($img, 0, 0, 0); imagefill($img, 1, 1, $black); $color = imagecolorallocate($img, 255, 255, 255); recursion($i, $r, $y - $r, $x - $r, $y - $r); function recursion($i, $x1, $y1, $x2, $y2) { global $img, $color; if($i == 0) imageline($img, $x1, $y1, $x2, $y2, $color); else { $alpha = atan2($y2 - $y1, $x2 - $x1); $r = sqrt(($x2 - $x1) * ($x2 - $x1) + ($y2 - $y1) * ($y2 - $y1)); $xa = $x1 + $r * cos($alpha) / 3; $ya = $y1 + $r * sin($alpha) / 3; $xc = $xa + $r * cos($alpha - PI / 3) / 3; $yc = $ya + $r * sin($alpha - PI / 3) / 3; $xb = $x1 + 2 * $r * cos($alpha) / 3; $yb = $y1 + 2 * $r * sin($alpha) / 3; recursion($i - 1, $x1, $y1, $xa, $ya); recursion($i - 1, $xa, $ya, $xc, $yc); recursion($i - 1, $xc, $yc, $xb, $yb); recursion($i - 1, $xb, $yb, $x2, $y2); } } header("Content-type: image/png"); imagepng($img); imagedestroy($img); ?>
Свойства
- Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.
- Кривая Коха не имеет самопересечений.
- Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, которая равна
поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.
Вариации и обобщения
Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (φ:1:φ), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза.
Также можно построить кривую «Крест Коха»квадрата, при этом проводя построение «внутрь» квадрата.
на сторонахТакже можно построить «Снежинку Коха» на сторонах равностороннего трегоугольника.
Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами (квадратичная), других углов (Césaro) или кругов и их расширения на высшие размерности (сферическая снежинка):
Вариант Иллюстрация Получение 1D, 85°, угол Фрактал Cesaro - вариант кривой Коха с углом между 60° и 90 ° (здесь 85°) 1D, 90°, угол 1D, 90°, угол 2D, треугольники 2D, 90°, угол Расширение квадратичного кривой 1 типа, соответствующее "вывернутой губке Менгера"[1]. На изображении слева - фрактал после второй итерации . 2D, 90°, угол Расширение квадратичного кривой 2 типа. На изображении слева - фрактал после первой итерации 2D, сферы Haines сферическая снежинка (большой зелёный объект)Eric Haines разработал фрактал сферическая снежинка, который является трехмерной версией снежинки Коха (используются сферы) 200pmСсылки
Примечания
- ↑ Baird, Eric. Alt.Fractals: A visual guide to fractal geometry and design. Chocolate Tree Books (2011) ISBN 0955706831 - Chapter 3 "Not the Koch Snowflake", esp. pages 23-24
Кривая Коха на Викискладе? Категория:- Фрактальные кривые
Wikimedia Foundation. 2010.