Эллиптический интеграл

В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером.

В современном представлении, эллиптический интеграл — это некоторая функция $f$, которая может быть представлена в следующем виде:

$f(x) = \int \limits_{c}^{x}\!R(t,P(t))\,dt$,

где $R$ — рациональная функция двух аргументов, $P$ — квадратный корень из многочлена 3 или 4 степени с несовпадающими корнями, $c$ — константа.

В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда $P$ имеет повторяющиеся корни или когда $R(x,y)$ не содержит нечетных степеней $y$. Однако для каждого эллиптического интеграла существует механизм приведения его к сумме элементарных функций и трёх нормальных эллиптических интегралов (то есть эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода).

Обозначения

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

• $\alpha$ — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой $o\!\varepsilon$);
• $k=\sin \alpha$ — модуль эллиптического интеграла;
• $m=k^2=\sin^2 \alpha$ — параметр;

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр. Г. Корн, Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»)

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

• $x=\sin \varphi= \operatorname{\mathrm{sn}}\,u$, где $\operatorname{\mathrm{sn}}$ — эллиптическая функция Якоби;
• $\varphi = \arcsin x = \operatorname{\mathrm{am}}\,u$ — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что $u$ зависит также и от $m$. Несколько дополнительных уравнений связывают $u$ с другими параметрами:

$\cos \varphi = \operatorname{\mathrm{cn}}\,u$

и

$\sqrt{1-m\sin^2 \varphi} = \operatorname{\mathrm{dn}}\,u.$

Последее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

$\Delta(\varphi)=\operatorname{\mathrm{dn}}\,u$.

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительнй модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

• $m_1\,=\,1 - m$ — дополнительный параметр
• $k'=\sqrt{1-k^2}$ — дополнительный модуль
• ${k'}^2=m_1\,\!$ — дополнительный модулярный угол

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода $F$ определяется как

$F(\varphi, k ) = \int\limits_0^\varphi\!\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}$,

или, в форме Якоби,

$F(x,k) = \int\limits_{0}^{x}\!\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2 z^2)} }\,\!$.

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «, ». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

$F(\sin\varphi,\sin \alpha) = F(\varphi|\sin^2 \alpha) = F(\varphi\setminus \alpha )~ \,\!$.

Частные случаи

$F(\varphi \setminus 0) = \varphi$;

$F(i\varphi \setminus 0) = i\varphi$;

$F(\varphi \setminus 90^{\circ}) = \ln\left(\operatorname{sec}\,\varphi +\operatorname{tg}\,\varphi\right) = \ln\operatorname{tg}\,\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}\right)$;

$F(i\varphi \setminus 90^{\circ}) = i\,\operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{sh}\,\varphi\right)$;

Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как

$E(\varphi, k) = \int\limits_0^\varphi\!\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}\,d\theta$

или, используя подстановку $x=\sin\varphi$,

$E(x,k) = \int \limits_{0}^{x}\!\frac{\sqrt{1 - k^2 z^2}}{\sqrt{1 - z^2}}\,dz.$

Частные случаи

$E(\varphi \setminus 0) = \varphi$;

$E(i\varphi \setminus 0) = i\varphi$;

$E(\varphi \setminus 90^{\circ}) = \sin\varphi$;

$E(i\varphi \setminus 90^{\circ}) = i\,\operatorname{sh}\,\varphi$;

Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода $\Pi\,\!$ определяется как

$\Pi(c; \varphi, k) = \int \limits_{0}^{\varphi}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}$

или

$\Pi(c; x, k) = \int \limits_{0}^{x}\!\frac{dx}{(1+cx^2)\sqrt{(1-k^2 x^2)(1-x^2)}}$

Число $c$ называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла $\Pi(1; \pi/2 \mid m)$ стремится к бесконечности для любых $m$.

Гиперболический случай

(0 < c < m)

Введем дополнительные обозначения:

$\varepsilon = \operatorname{arcsin}\,\sqrt{\frac{n}{\sin^2\alpha}}, \qquad 0\leqslant\varepsilon\leqslant\frac{\pi}{2}\!$;

$\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}$;

$q=q(\alpha)\!$;

$\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}$;

$\delta_1 = \sqrt{\frac{c}{(1-c)(\sin^2\alpha - c)}}$

Тогда можно записать эллиптический интеграл через тета-функции:

$\Pi(c; \varphi\setminus\alpha) = \delta_1\left[-\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} + \nu\,\frac{\vartheta_1'(\beta)}{\vartheta_1(\beta)}\right]$,

где

$\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} = 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{q^s}{s(1-q^{2s})}\sin{2s\nu}\,\sin\,{2s\beta}$

и

$\frac{\vartheta_1'(\beta)}{\vartheta_1(\beta)} = \operatorname{ctg}\,\beta + 4\sum_{s=1}^{\infty} \frac{q^{2s}}{1 - 2q^{2s}\cos{2\beta} + q^{4s}}\sin{2\beta}$

(c > 1)

С помощью подстановки $C = \frac{\sin^2\alpha}{c}$ этот случай сводится к предыдущему, так как $0 < C < \sin^2\alpha\!$.

Введем дополнительно величину

$p_1 = \sqrt{(c-1)(1 - \frac{\sin^2\alpha}{c})}$.

Тогда:

$\Pi(c; \varphi\setminus\alpha) = - \Pi(C; \varphi\setminus\alpha) + F(\varphi \setminus \alpha) + \frac{1}{2p_1}\ln\left[\frac{\Delta(\varphi) + p_1\operatorname{tg}\,\varphi}{\Delta(\varphi) - p_1\operatorname{tg}\,\varphi}\right]$

Круговой случай

(m < c < 1)

Введем дополнительные обозначения:

$\varepsilon = \operatorname{arcsin}\,\sqrt{\frac{1-n}{\cos^2\alpha}}, \qquad 0\leqslant\varepsilon\leqslant\frac{\pi}{2}\!$;

$\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ}-\alpha)}{2\,K(\alpha)}$;

$q=q(\alpha)\!$;

$\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}$;

$\delta_2 = \sqrt{\frac{c}{(1-c)(c - \sin^2\alpha)}}$

Тогда эллиптический интеграл равен:

$\Pi(c; \varphi\setminus\alpha) = \delta_2(\lambda - 4\mu\nu)$,

где

$\lambda = \operatorname{arctg}\,(\operatorname{th}\,\beta\,\operatorname{tg}\,\nu) + 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{(-1)^{s-1}}{s}\frac{q^{2s}}{1-q^{2s}}\sin{2s\nu}\,\operatorname{sh}\,{2s\beta}$

и

$\mu = \frac{\sum_{s=1}^{\infty} sq^{s^2}\,\operatorname{sh}\,{2s\beta}}{1+\sum_{s=1}^{\infty} q^{s^2}\,\operatorname{ch}\,{2s\beta}}$

(c < 0)

С помощью подстановки $C = \frac{\sin^2\alpha - c}{1-c}$ этот случай сводится к предыдущему, так как $\sin^2\alpha\ < C < 1$.

Введем дополнительно величину

$p_2 = \sqrt{\frac{-c\,(\sin^2\alpha-c)}{1-c}}$.

Тогда:

$\sqrt{(1-c)(1-\frac{\sin^2\alpha}{c})}\,\Pi(c; \varphi \setminus \alpha) = \sqrt{(1-C)(1-\frac{\sin^2\alpha}{C})}\,\Pi(C; \varphi \setminus \alpha) + \frac{\sin^2\alpha\,F(\varphi \setminus \alpha)}{p_2} + \operatorname{arctg}\,\left[\frac{p_2}{2}\frac{\sin{2\varphi}}{\Delta(\varphi)}\right]$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

В случае, если амплитуда $\varphi$ нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна $\pi/2$, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

$K(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}} = F(\pi/2, k)$

или

$K(k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2 x^2)}}.$

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

$K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 k^{2n}$,

что эквивалентно выражению

$K(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 k^{2n} + \dots \right\}$,

где $n!!$ обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл первого рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

$K(k) = \frac{\pi}{2} \,_2F_1 \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; k^2\right).$

Частные случаи

$K(0) = \frac{\pi}{2}$

$K(1) = \infty$

$K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^2}{4 \sqrt{\pi}}$

$K\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2^{-\frac{7}{3}} 3^{\frac{1}{4}} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3}{\pi}$

$K\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2^{-\frac{7}{3}} 3^{\frac{3}{4}} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3}{\pi}$

$\operatorname{sn}\,K = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1$

$\operatorname{cn}\,K = \cos{\frac{\pi}{2}} = 0$

$\operatorname{dn}\,K = \sqrt{1-k^2} = k'$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода

В случае, если амплитуда $\varphi$ нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна $\pi/2$, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

$E(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}\,d\varphi = E(\pi/2, k)$

или

$E(k) = \int \limits_{0}^{1}\,\frac{\sqrt{1-k^2 x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.$

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

$E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n}$

что эквивалентно выражению

$E(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \dots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \dots \right\}.$

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

$E(k) = \frac{\pi}{2} \,2F_1 \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}; 1; k^2\right).$

Частные случаи

$E\left(0\right) = \frac{\pi}{2}$

$E\left(1\right) = 1$

$E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi^{\frac{3}{2}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}+\frac{\Gamma\left(\frac{1} {4}\right)^2}{8 \sqrt \pi}$

$E\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = 2^{\frac{1}{3}} 3^{-\frac{3}{4}} \pi^2 \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} + 2^{-\frac {10}{3}} 3^{-\frac {1}{4}} \frac{\sqrt{3} + 1}{\pi} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3$

$E\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 2^{\frac 1 3} 3^{-\frac{1}{4}} \pi^2 \Gamma\left(\frac 1 3\right)^{-3} + 2^{-\frac {10}{3}} 3^{\frac{1}{4}} \frac{\sqrt{3} - 1}{\pi} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и второго рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

$\Pi(c; \pi/2, k) = \Pi(c, k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}$

или

$\Pi(c, 1, k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{(1+cx^2)\sqrt{(1-k^2 x^2)(1-x^2)}}$

Гиперболический случай

(0 < c < m)

$\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \delta_1K(\alpha)\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)$,

где $\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)$ — дзета-функция Якоби

(c > 1)

$\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) - \Pi(C \setminus \alpha)$,

Круговой случай

(m < c < 1)

$\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \frac{1}{2}\pi\delta_2\left[1-\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)\right]$,

где $\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)$ — лямбда-функция Хеймана

(c < 0)

$\Pi(c \setminus \alpha) = -\frac{c\cos^2\alpha\, \Pi(C \setminus \alpha)}{(1-c)(\sin^2\alpha-n)} + \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha - c}K(\alpha)$,

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)

Дзета-функция Якоби

$Z(\varphi\setminus\alpha) = E(\varphi\setminus\alpha) - \frac{E(\alpha)F(\varphi\setminus\alpha)}{K(\alpha)}\!$;

Лямбда-функция Хеймана

$\Lambda_{\circ}(\varphi\setminus\alpha) = \frac{F(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)}{K'(\alpha)}+\frac{2}{\pi}K(\alpha)\,Z(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)\!$

или

$\Lambda_{\circ}(\varphi\setminus\alpha) = \frac{2}{\pi}\left\{K(\alpha)\,E(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)-\left[K(\alpha) - E(\alpha)\right]\,F(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)\right\}\!$

См. также

• Эллиптические функции
• Эллиптическая кривая
• Специальные функции
• Аппроксимации эллиптических интегралов

Ссылки

• Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Мир, 1979. (См. гл. 17).
• Г. Корн, Т Корн // Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977
• Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т3 (гл. 13)
• Ахиезер Элементы теории эллиптический функций. (гл 3,7)
• Эллиптические функции, Процедуры для Matlab