Верзьера Аньези

Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек $M$, для которых выполняется соотношение $\textstyle\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}$, где $OA$ — диаметр окружности, $BC$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная $OA$. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

История

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Уравнения

$O=(0,0)$, $A=(0,a)$

• В прямоугольной системе координат:

$y=\frac{a^3}{a^2+x^2}$

Вывод  

Координаты точки $M$, лежащей на верзьере — это $x=BM$, $y=OB$. $OA=a$ и по определению строим пропорцию

$\textstyle\frac{x}{BC}=\frac{a}{y}$

Отсюда

$\textstyle BC=\frac{xy}{a}$

С другой стороны $BC$ может быть найден из уравнения окружности:

$\textstyle \left (y-\frac{a}{2}\right )^2+x^2=\frac{a^2}{4}$

Нам известен $y=OB$, значит выражаем $x^2$:

$\textstyle x^2=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2$

Приравниваем оба выражения для $BC$:

$\textstyle\frac{x^2 y^2}{a^2}=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2$

Возводим в квадрат, переносим и выносим $y^2$ за скобки:

$\textstyle\left (\frac{x^2}{a^2}+1\right )y^2=ay$

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

$\textstyle y=\frac{a^3}{a^2+x^2}$

Если $a$ — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

$\textstyle y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2}$

• Параметрическое уравнение:

$\begin{cases}x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi \\y=a\cos^2\varphi \end{cases}$, где $\varphi$ — угол между $OA$ и $OC$

Вывод  

Координаты точки $M$ однозначно определяются углом $\varphi$ между $OB$ и $OC$. Если $OB=y$, а $BM=x$, то по определению верзьеры можно составить пропорцию

$\textstyle\frac{OA}{y}=\frac{x}{BC}$

$OA$ по предположению равен $a$. Из треугольника $OBC$: $BC=y\,\operatorname{tg}\,\varphi$, значит

$\textstyle\frac{a}{y}=\frac{x}{y\,\operatorname{tg}\,\varphi}$

отсюда $x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi$. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

$\textstyle y=\frac{a^3}{a^2+a^2\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}$

$\textstyle y=\frac{a}{1+\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}$

Используя тождество, получаем

$y=a\cos^2\varphi$

• В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

$\textstyle \rho\sin{\varphi}=\frac{a^3}{a^2+\rho^2\cos^{2}\varphi}$

$\textstyle \rho^3(\cos^2\varphi\sin\varphi)+\rho(a^2\sin\varphi)-a^3=0$

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

• Верзьера — кривая третьего порядка.
• Диаметр $OA$ единственная ось симметрии кривой.
• Кривая имеет один максимум — $A(0;a)$ и две точки перегиба — $\textstyle P_{1,2}\left (\pm\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4}\right )$
• В окрестности вершины $A$ верзьера приближается к окружности диаметра $OA$. В точке $A$ происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке $A$: $\textstyle R_A=\frac{a}{2}$.
• Площадь под графиком $S=\pi a^2$. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему $\textstyle\mathbb{R}$.
• Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси $OX$) $\textstyle V=\frac{\pi^2 a^3}{2}$.

Построение

Построение верзьеры

Строится окружность диаметра $a$ и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Интересные факты

• Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180-200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.^[1]

См. также

	Верзьера Аньези на Викискладе?

• Кривая
• Распределение Коши

Литература

• Выгодский М.Я Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

Ссылки

• Статья на сайте «Академик». Архивировано из первоисточника 14 марта 2012. Проверено 13 января 2012.
• Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Архивировано из первоисточника 14 марта 2012. Проверено 13 января 2012.
• Анимация построения  (англ.). Архивировано из первоисточника 14 марта 2012. Проверено 13 января 2012.
• Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables  (фр.). Архивировано из первоисточника 14 марта 2012. Проверено 15 июня 2010.
• Статья на сайте Wolfram MathWorld  (англ.). Проверено 15 июня 2010.
• XahLee.org  (англ.). Проверено 13 января 2012.
• Leslie Pacher The mathematical “Witch”  (англ.). Архивировано из первоисточника 14 марта 2012. Проверено 13 января 2012.

Примечания

1. ↑ Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее