Метрическое пространство

Метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Содержание

Определение

Метрическое пространство M есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой) d\colon M\times M\to\R, где \R обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек x,\;y,\;z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

  1. d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y (аксиома тождества).
  2. d(x,\;y)=d(y,\;x) (аксиома симметрии).
  3. d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть d(x,\;y)\geqslant 0 (это вытекает из аксиомы треугольника при z=x) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x.

Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти от x до y, а потом от y до z.

Обозначения

Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается d(x,\;y) или \rho(x,\;y).

  • В метрической геометрии принято обозначение |xy| или |xy|_M, если необходимо подчеркнуть что речь идет о M. Реже употребляются обозначения |x-y| и |x-y|_M.
  • В классической геометрии приняты обозначения XY или |XY| (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Примеры

  • Пусть F(X,\;Y) — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства X в метрическое пространство Y. Расстояние между двумя отображениями f_1 и f_2 из этого пространства определяется как
    d_F(f_1,\;f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),\;f_2(x))\colon x\in X\}.
Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве X.
В частном случае, когда X — компактное пространство, Y — числовая прямая, получается пространство C(X) всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.
  • Пусть L[a,\;b], R[a,\;b], C[a,\;b] — пространства функций на отрезке [a,\;b], соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:
    d(f_1,\;f_2)=\int\limits_a^b|f_1(x)-f_2(x)|\,dx.
Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)
  • В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций C^k[a,\;b] метрика вводится по формуле:
    d_k(f_1,\;f_2)=\max\{d_0(f_1,\;f_2),\;d_0(f'_1,\;f'_2),\;\ldots,\;d_0(f^{(k)}_1,\;f^{(k)}_2)\},
где d_0 — метрика равномерной сходимости на C[a,\;b] (см. выше).
  • Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
  • Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому рёбру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
  • Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика — пример, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
  • Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
D(x,\;y)=\inf\{r\mid\forall x\in X\;\exist y\in Y\colon d(x,\;y)<r,\;\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,\;y)<r\}.
  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Конструкции

  • Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
    1. d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=d_X(x_1,\;x_2)+d_Y(y_1,\;y_2);
    2. d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=\sqrt{d_X(x_1,\;x_2)^2+d_Y(y_1,\;y_2)^2};
    3. d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=\max\{d_X(x_1,\;x_2),\;d_Y(y_1,\;y_2)\}.
Эти метрики эквивалентны друг другу.

Связанные определения

  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
  • Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,\;y).
  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:
B(x;\;r)=\{y\in M\mid d(x,\;y)<r\},
где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки x\in O найдётся положительное число r, такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O.
  • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
  • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
  • Расстояние d(x,\;S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:
d(x,\;S)=\inf\{d(x,\;s)\mid s\in S\}.
Тогда d(x,\;S)=0, только если x принадлежит замыканию S.

Свойства

  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
    • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
    • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

  • Для данного множества M, функция d\colon M\times M\to\R называется псевдометрикой или полуметрикой на M если для любых точек x,\;y,\;z из M она удовлетворяет следующим условиям:
    1. d(x,\;x)=0;
    2. d(x,\;y)=d(y,\;x) (симметрия);
    3. d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (неравенство треугольника).
То есть, в отличие от метрики, различные точки в M могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/\!\sim, где x\sim y\Leftrightarrow d(x,\;y)=0.
  • Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
    Для всех x, y и z в M d(x,\;z)\leqslant\max(d(x,\;y),\;d(y,\;z)).
  • Иногда удобно рассматривать \infty-метрики, то есть метрики со значениями [0;\;\infty]. Для любой \infty-метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например
    d'(x,\;y)=\frac{d(x,\;y)}{1+d(x,\;y)} или d''(x,\;y)=\min{(1,\;d(x,\;y))}.
Также, для любой точки такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство. В частности любое пространство с \infty-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств с и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным \infty.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[1] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

  1. Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Метрическое пространство" в других словарях:

  • МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество точек (элементов), на котором введена метрика …   Большой Энциклопедический словарь

  • метрическое пространство — множество точек (элементов), на котором введена метрика. * * * МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО, множество точек (элементов), на котором введена метрика …   Энциклопедический словарь

  • метрическое пространство — metrinė erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. metric space vok. metrischer Raum, m rus. метрическое пространство, n pranc. espace métrique, m …   Fizikos terminų žodynas

  • МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Xвместе с нек рой метрикойr на ном. Теоретико множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного… …   Математическая энциклопедия

  • Метрическое пространство —         множество объектов (точек), на котором введена метрика (См. Метрика пространства времени). Всякое М. п. является топологическим пространством (См. Топологическое пространство); за окрестности в нём принимаются всевозможные открытые шары… …   Большая советская энциклопедия

  • МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество точек (элементов), на к ром введена метрика …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ПОЛНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — метрическое пространство, в к ром каждая фундаментальная, пли сходящаяся в себе, последовательность сходится. П. м. п. частный случай полного равномерного пространства. м. И. Войцеховский …   Математическая энциклопедия

  • Полное метрическое пространство — Метрическим пространством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов. Содержание 1 Формальное определение 2 Обозначения 3 Примеры …   Википедия

  • Дискретное метрическое пространство — Дискретное пространство в общей топологии и смежных областях математики это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3 Примеры 4 Свойства …   Википедия

  • КОНСТРУКТИВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — концепция метрич. пространства, используемая в конструктивной математике. Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства. Список где некоторое множество конструктивных объектов (обычно слов в том или ином алфавите), р… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»