Сплайн Эрмита

Сплайн Эрмита

Кубический эрмитов сплайнсплайн, построенный из кубических полиномов с использованием эрмитовой интерполяции, в соответствии с которой интерполируемая функция задается не только своими значениями в n точках, но и ее первыми производными. Для заданной интерполяционной сетки x_k для k=1,...,n, и заданного значения независимой переменной x вычисление функции проводится в соответствующем интервале (x_k, x_{k+1}) с известными граничными значениями функции p и ее производной m.Для упрощения вычислений делается замена независимой переменной x на независимую переменную t по формуле t = (x-x_k)/(x_{k+1}-x_k).В результате такой замены левая граница интервала становится равной 0, а правая 1. Кубический полином, служащий для вычисления интерполируемой функции в соответствующем интервале имеет вид:

\boldsymbol{p}(t) = (2t^3-3t^2+1)\boldsymbol{p}_k + (t^3-2t^2+t)\boldsymbol{m}_k + (-2t^3+3t^2)\boldsymbol{p}_{k+1} +(t^3-t^2)\boldsymbol{m}_{k+1}

В вышеприведенной формуле значения производных относятся к независимой переменной t. Для их вычисления необходимо исходные значения производных умножить на длины интервалов  x_{k+1}-x_k . Как следует из формулы, значение интерполируемой функции вычислятся с помощью четырех кубических полиномов  h_{00}(t),h_{10}(t),h_{01}(t),h_{11}(t). Эти полиномы отнюдь не являются классическими полиномами Эрмита, как об этом сказано в англоязычной версии статьи. На практике обычно известны лишь значения функции в узловых точках, но не значения первой производной. Для вычисления значений первой производной используются различные способы. Простейшим является вычисление среднего арифметического значения разделенных первых разностей на двух соседних интервалах.

\boldsymbol{m}_k = \frac{\boldsymbol{p}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k}}{2(t_{k+1}-t_{k})} + \frac{\boldsymbol{p}_{k}-\boldsymbol{p}_{k-1}}{2(t_{k}-t_{k-1})}

В так называемом кардинальном сплайне используется формула

 \boldsymbol{m}_k = (1-c)\frac{\boldsymbol{p}_{k+1}-\boldsymbol{p}_{k-1}}{t_{k+1}-t_{k-1}}

В этой формуле параметр c изменяется от 0 до 1. В соответствии с этой формулой производная в середине отрезка равняется разделенной первой разностью на всем отрезке, умноженной на некий коеффициент. В случае с=0 формула называется Catmull–Rom сплайн.

См. также

Литература

Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — 604 с. — ISBN 5-03-002143-4

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Сплайн Эрмита" в других словарях:

  • Сплайн — (от англ. spline, от [flat] spline  гибкое лекало, полоса металла, используемая для черчения кривых линий)  функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым… …   Википедия

  • B-сплайн — В вычислительной математике B сплайном называют сплайн функцию, имеющую наименьший носитель для заданной степени, порядка гладкости и разбиения области определения. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн функция для заданной… …   Википедия

  • Кубический сплайн — Некоторая функция f(x) задана на отрезке , разбитом на части , . Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция , которая: на каждом отрезке является многочленом степени не выше третьей; имеет непрерывные первую и вторую производные на всём… …   Википедия

  • Эрмит, Шарль — Шарль Эрмит Шарль Эрмит (190 …   Википедия

  • Шарль Эрмит — (фр. Charles Hermite; 24 декабря 1822, Дьёзе, Лотарингия, Франция 14 января 1901, Париж, Франция) французский математик. Основные работы в теории чисел, теории квадратичных форм, теории инвариантов, ортогональных многочленов, эллиптических… …   Википедия

  • Эрмит — Эрмит, Шарль Шарль Эрмит (фр. Charles Hermite; 24 декабря 1822, Дьёзе, Лотарингия, Франция 14 января 1901 …   Википедия

  • Эрмит Ш. — Шарль Эрмит (фр. Charles Hermite; 24 декабря 1822, Дьёзе, Лотарингия, Франция 14 января 1901, Париж, Франция) французский математик. Основные работы в теории чисел, теории квадратичных форм, теории инвариантов, ортогональных многочленов,… …   Википедия

  • Эрмит Шарль — Шарль Эрмит (фр. Charles Hermite; 24 декабря 1822, Дьёзе, Лотарингия, Франция 14 января 1901, Париж, Франция) французский математик. Основные работы в теории чисел, теории квадратичных форм, теории инвариантов, ортогональных многочленов,… …   Википедия

  • Кривые Безье — были разработаны в 60 х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Bézier) из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастелье (de Casteljau) из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.… …   Википедия

  • Кубическая кривая Безье — Кривые Безье были разработаны в 60 х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Bézier) из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастелье (de Casteljau) из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»