Улитка Паскаля

Три улитки паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная $a>\ell$, красная (кардиоида) $a=\ell$ и синяя $a<\ell$

Анимация подеры окружности

Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; подера окружности, конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

$(x^2+y^2-ay)^2=\ell^2(x^2+y^2)$

в полярных координатах:

$\rho = \ell-a \sin\phi.$

Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

Свойства

• Начало координат ―
  • узловая при $a>\ell$.
  • точка возврата при $a=\ell$ (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
  • двойная точка, изолированная при $a<\ell$.
• Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
• Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
      $S=\frac{\pi a^2}2+\pi \ell^2$;
  при $a>\ell$ площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.
• В случае $\ell=2a$, улитка Паскаля также называется трисектри́са (также триссектри́са). Такое название она получила из за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки.