- Лемниската Бернулли
-
Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности.
Содержание
История
Название происходит от греч. λημνισχος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus и он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.
Уравнения
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами
, расположены они на оси
, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
ВыводФокусы лемнискаты —
и
. Возьмём произвольную точку
. Произведение расстояний от фокусов до точки
есть
,
и по определению оно равно
:
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части:
Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:
Выносим общий множитель и переносим:
Далее можно сделать замену
, хотя это не обязательно:
В данном случае
— радиус окружности, описывающей лемнискату.
- Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
ВыводВозводим в квадрат и раскрываем скобки:
Приводим к виду
Это квадратное уравнение относительно
. Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.
ВыводИспользуя формулы перехода к полярной системе координат
получим:
Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество
:
Используем ещё одно тождество:
:
Делим на
, предполагая, что
:
Как и в случае прямоугольной системы можно заменить
:
- Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
, где
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от
до
. При этом, когда параметр стремится к
, точка кривой стремится к
из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к
, то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.
Вывод уравненияУравнение лемнискаты в полярной системе
подставим в формулы перехода к полярной системе координат
возведённые в квадрат:
Рассмотрим первое уравнение:
Используем тригонометрические формулы
и
:
Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение
:
После преобразований:
Извлекаем корень из обеих частей равенства:
Если произвести замену
, то получаем искомое выражение для
:
Второе уравнение выводится аналогично с применением формулы
.
Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.
ПримерПусть, например,
— фокусы.
Существует прямоугольная система координат (на рисунке —
), в которой уравнение лемнискаты имеет вид
Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее
в
. Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.
Середина отрезка
—
, значит перенос только на
по оси
:
После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:
значит
.
Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона
к
:
Формулы преобразования:
Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:
Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:
После преобразований:
Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами
в стандартной прямоугольной системе координат.
Свойства
Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при
, синусоидальной спирали с индексом
и лемнискаты Бута при
, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.
Свойства от овала Кассини
- Лемниската — кривая четвёртого порядка.
- Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
- Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
- Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
- Лемнискату описывает окружность радиуса
, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.
Свойства от синусоидальной спирали
- Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
- Касательные в двойной точке составляют с отрезком
углы
.
- Угол
, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен
.
- Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
- Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит леминискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
- Радиус кривизны лемнискаты есть
Вывод Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:
при
однако, легко вывести и по определению.
Уравнение лемнискаты в полярной системе:Формулы перехода к полярной системе координат:
Выражаем
:
Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем
и
:
—- это параметрическое уравнение относительно
. Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно
, указанное выше в разделе Уравнения.
Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:
Находим производные по
:
Подставляем в формулу радиуса:
Возвращаемся к уравнению лемнискаты:
Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:
- Натуральное уравнение кривой имеет вид
- Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
- Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.
Собственные свойства
- Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных.
- Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
- Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол
с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
- Площадь полярного сектора
, при
:
- В частности, площадь каждой петли
, то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной
.
- Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
- Длина дуги лемнискаты между точками
и
выражается эллиптическим интегралом I рода:
где
- В частности, длина всей лемнискаты
Построения
При помощи секущих (способ Маклорена)
Строится окружность радиуса
с центром в одном из фокусов. Из середины
фокусного отрезка строится произвольная секущая
(
и
— точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки
и
, равные хорде
. Точки
,
лежат на разных петлях лемнискаты.
Шарнирные методы
Вариант первый
На плоскости выбираются две точки —
и
— будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба —
и
). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков:
. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
Вариант второй
В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке —
и
соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок
соединяется не с концом центрального
, а с его серединой. Пропорции также другие:
.
-
Механизм Ватта (анимация)
См. также
- Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
- Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
- Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения
- Лемниската Бута
- Плоская кривая
- Алгебраическая кривая
- Бесконечность
- Аттрактор Лоренца
Примечания
- ↑ Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых (англ.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.
- ↑ Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. Euler at 300: an appreciation. — P. 121-123.
Литература
- Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Популярные лекции по математике. — М.: Гостехиздат, 1952. — С. 23-25.
- Савелов А. А. Плоские кривые / Под. ред. А. П. Нордена. — М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. — С. 155-162.
- Lockwood E. H. A book of curves. — Cambridge: Cambridge university press, 1961. — P. 110-117.
Ссылки
- Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Проверено 15 июня 2010.
- Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.
- Фаньяно и длина дуги лемнискаты (итал.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.
Категории:- Алгебраические кривые
- Кривые
Wikimedia Foundation. 2010.