Криволинейный интеграл

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства ${{\mathbb{R}}^{3}}$, но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения

Пусть $l$ — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

$l:\left\{ \begin{align} & x=x\left( t \right) \\ & y=y\left( t \right) \\ & z=z\left( t \right) \\ \end{align}\right.~~~~~,$ $t\in\left[a,b\right]$ — (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть $\theta =\left\{ {{t}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}$ — разбиение отрезка параметризации $\left[ a,b \right]$, причем $a={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<\ldots <{{t}_{n-1}}<{{t}_{n}}=b$.

Зададим разбиение кривой $M=\left\{ {{M}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{M}_{k}}=\left( x\left( {{t}_{k}} \right),y\left( {{t}_{k}} \right),z\left( {{t}_{k}} \right) \right)\in l$.

За $\ {{l}_{k}}$ обозначим часть кривой от точки $\ {{M}_{k}}$ до точки $\ {{M}_{k-1}}$, $k=\overline{1,n}$.

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации $\theta$: $\Delta \theta =\underset{k=\overline{1,n}}{\mathop{\max }}\,\left\{ {{t}_{k}}-{{t}_{k-1}} \right\}$.

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации $l$: $\xi =\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}_{k=1}^{n}:\forall k=\overline{1,n}\ \ {{\xi }_{k}}\in \left[ {{t}_{k-1}},{{t}_{k}} \right]$.

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой $N=\left\{ {{N}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{N}_{k}}=\left( x\left( {{\xi }_{k}} \right),y\left( {{\xi }_{k}} \right),z\left( {{\xi }_{k}} \right) \right)\in {{l}_{k}}$.

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой $l$: $f\left( x,y,z \right)$, $P\left( x,y,z \right)$, $Q\left( x,y,z \right)$, $R\left( x,y,z \right)$.

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

   $\sigma \left( f,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{N}_{k}} \right)\left| {{l}_{k}} \right|}$.

1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

   ${{\sigma }_{1}}\left( P,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{P\left( {{N}_{k}} \right)\left( x\left( {{t}_{k}} \right)-x\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}$,

   ${{\sigma }_{2}}\left( Q,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{Q\left( {{N}_{k}} \right)\left( y\left( {{t}_{k}} \right)-y\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}$,

   ${{\sigma }_{3}}\left( R,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{R\left( {{N}_{k}} \right)\left( z\left( {{t}_{k}} \right)-z\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}$.

Если $\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma \left( f,M,N \right)=I$, то говорят, что функция $f$ интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой $l$, а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции $f$ по кривой $l$ и обозначают $\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=I$. Здесь $\ dl$ — дифференциал кривой.

Если $\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{1}} \left( P,M,N \right)={{I}_{1}}$, $\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{2}} \left( Q,M,N \right)={{I}_{2}}$, $\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{3}} \left( R,M,N \right)={{I}_{3}}$, то говорят, что функции $P$, $Q$ и $R$ интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой $l$, а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций $P$, $Q$ и $R$ по кривой $l$ и обозначают

$\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}={{I}_{1}}$

$\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}={{I}_{2}}$

$\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{3}}$

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций $P$, $Q$ и $R$ также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции $\vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\}$ и обозначают:

$\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx+Q\left( x,y,z \right)dy+R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+{{I}_{3}}=\tilde{I}$.

Если кривая $l$ замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка $\int{{}}$ принято писать $\oint{{}}$.

Криволинейный интеграл первого рода

Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

Свойства

1. Линейность:

   $~\int\limits_l(\alpha f+\beta g)dl = \alpha\int\limits_l fdl + \beta\int\limits_l gdl$

2. Аддитивность: если $l_1\cap l_2$ в одной точке, то

   $\int\limits_{l_1\cup l_2}fdl = \int\limits_{l_1}fdl + \int\limits_{l_2}fdl$

3. Монотонность: если $f \le g$ на $l$, то

   $\int\limits_l fdl \le \int\limits_l gdl$

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль $l$ функции $f$:

   $\exists \xi \in l:\int\limits_{l}{f}dl=f\left( \xi \right)\left| l \right|$

Очевидно, что: $\int\limits_{l}{d}l=\left| l \right|$.

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: $\int\limits_{AB}{f}dl=\int\limits_{BA}{f}dl$.

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция $f\left( x,y,z \right)$ определена и интегрируема вдоль кривой $l$ в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

$\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right)\sqrt{{{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}}}dt}$.

Здесь точкой обозначена производная по $t$: $\dot{x}={x}'\left( t \right)$.

Криволинейный интеграл второго рода

Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

Свойства

1. Линейность:

$\int\limits_{AB}(\alpha f+\beta g)dx = \alpha\int\limits_{AB}fdx + \beta\int\limits_{AB}gdx$

2. Аддитивность:

$\int\limits_{AB}fdx + \int\limits_{BC}fdx = \int\limits_{ABC}fdx$

3. Монотонность: если $f \le g$ на $\Gamma$, то

$\int\limits_{AB}fdx \le \int\limits_{AB}gdx$

4. Оценка модуля:

$|\int\limits_{AB}f(x)dx| \le \int\limits_{AB}|f(x)|dx$

5. Теорема о среднем: если $f$ непрерывна на $\Gamma$, то $\exists M\in\Gamma$, такая что: $\int\limits_{AB}f(x)dx = f(M)\int\limits_{AB}dx$
6. $\int\limits_{BA}f(x,y,z)dx = -\int\limits_{AB}f(x,y,z)dx$

Вычисление

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция $f\left( x,y,z \right)$ определена и интегрируема вдоль кривой $l$ в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

$\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){x}'\left( t \right)dt}$,

$\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){y}'\left( t \right)dt}$,

$\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){z}'\left( t \right)dt}$.

Если обозначить за ${\vec{\tau }}$ единичный вектор касательной к кривой $l$, то нетрудно показать, что

${x}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl$

${y}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl$

${z}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl$

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении), $\vec{\tau }\left( x,y,z \right)=\left\{ \cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right),\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right),\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right) \right\}$ — единичный вектор, касательный к кривой $l$. Пусть также координаты вектор-функции $\vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\}$ определены и интегрируемы вдоль кривой $l$ в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

$\int\limits_{l}{Pdx+Qdy+Rdz}=\int\limits_{l}{\left( \vec{a},\vec{\tau } \right)dl}$

$\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl$

$\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl$

$\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl$

Механические приложения

• Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы $\mathbf{F} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y,z))$ вычисляется по формуле

$A = \int\limits_{l} P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz$

• Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z), выражается интегралом

$m = \int\limits_{l} \mu(x, y, z) \, ds$

• Координаты (x_c, y_c, z_c) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам:

$x_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} x\mu(x, y, z) \, ds$,

$y_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} y\mu(x, y, z) \, ds$,

$z_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} z\mu(x, y, z) \, ds$,

где m — масса кривой l

• Моменты инерции кривой l относительно координатных осей:

$I_x = \int\limits_{l} (y^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds$,

$I_y = \int\limits_{l} (x^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds$,

$I_z = \int\limits_{l} (x^2 + y^2)\mu(x, y, z) \, ds$

• Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть

$\mathbf{F} = \gamma m_0 \int\limits_{l} \frac{\mu(x, y, z)}{r^3} \, ds$,

где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m₀ — масса точки с координатами (x₀, y₀, z₀); γ — постоянная тяготения,

$\mathbf{r} = (x - x_0)\mathbf{i} + (y - y_0)\mathbf{j} + (z - z_0)\mathbf{k}, \quad \boldsymbol{r} = \left| \mathbf{r} \right|$

См. также

• Комплексный криволинейный интеграл
• Поверхностный интеграл
• Теорема Грина
• Векторный анализ
• Циркуляция векторного поля
• Механические приложения криволинейных интегралов

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.