B-сплайн

В вычислительной математике B-сплайном называют сплайн-функцию, имеющую наименьший носитель для заданной степени, порядка гладкости и разбиения области определения. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как линейная комбинация B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения.^[1] Термин B-сплайн был введён И. Шёнбергом и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн».^[2] B-сплайны могут быть вычислены с помощью алгоритма де Бора, обладающего устойчивостью.

В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике термин B-сплайн часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.

Определение

Когда узлы равноудалены друг от друга, говорят, что B-сплайн является однородным, в противном случае его называют неоднородным

Замечания

Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в кривую Безье. Форма базисной функции определяется расположением узлов. Масштабирование или параллельный перенос базисного вектора не влияет на базисную функцию.

Сплайн содержится в выпуклой оболочке его опорных точек.

Базисный сплайн степени n

$b_{i,n}(t)\,\;$

не обращается в нуль только на промежутке [t_i, t_i+n+1], то есть

$b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} >0 & \mathrm{if} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{matrix} \right.$

Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае кривых Безье.

Базисная функция может быть получена из полинома Бернштейна

См. также

• Сплайн
• NURBS
• Алгоритм де Бора
• Атомарные функции

Ссылки

• Interactive java applets for B-splines
• B-spline on MathWorld
• Module B-Splines by John H. Mathews
• BSpline Java Applet by Stefan Beck (with C++ Source)

Источники

1. ↑ Carl de Boor A Practical Guide to Splines. — Springer-Verlag, 1978. — P. 113-114.
2. ↑ Carl de Boor A Practical Guide to Splines. — Springer-Verlag, 1978. — P. 114-115.

Литература

• Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4
• Корнейчук, Н. П., Бабенко, В. Ф., Лигун, А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / отв. ред. А. И. Степанец; ред. С. Д. Кошис, О. Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики. — К.: Наукова думка, 1992. — 304 с. — ISBN 5-12-002210-3