- Циссоида Диокла
-
Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по
, а ось ординат по
, на отрезке
, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке
проводится касательная
. Из точки
проводится произвольная прямая
, которая пересекает окружность в точке
и касательную в точке
. От точки
, в направлении точки
, откладывается отрезок
, длина которого равна длине отрезка
. При вращении линии
вокруг точки
, точка
описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.
Содержание
Уравнения
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 12 мая 2011.Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:
Уравнение циссоиды в полярной системе координат:
Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:
Параметрическое уравнение циссоиды:
где
.
История
Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка
, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке
; ось симметрии — диаметр
. Из точки
проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка
, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой
. Этим методом Диокл построил только кривую
внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (
) замкнуть дугой окружности
, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».
В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.
Особенности кривой
Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках
и
, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту
, уравнение которой:
, где
— радиус вспомогательной окружности.
Площадь между циссоидой и асимптотой
Эта площадь равна:
ВыводПлощадь, заключённая между ветвями циссоиды
и асимптотой
. Уравнение верхней ветви
:
Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до
:
Подстановка:
Пределы интегрирования:
Интеграл (3) преобразуется к виду:
Итак:
Объём тела вращения
Объём (
) тела, образованного при вращении ветви
вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:
Если
, то
, то есть
.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 12 мая 2011.Категория:- Кривые
Wikimedia Foundation. 2010.