Радиус кривизны

Радиус кривизны — величина, обратная кривизне. Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую.

Радиус кривизны определяется для конкретной точки конкретной кривой он равняется радиусу соприкасающейся окружности.

Вычисление

Пусть кривая задана параметрически, r(τ) Тогда радиус кривизны можно найти, воспользовавшись формулой:

$R = \frac {(r')^3} {| r' \times r'' |}$

Вывод формулы в 2-мерном случае  

s = R * α

$ds^2 = dx^2 + dy^2 = ( (\frac {dx} {d\tau})^2 + (\frac {dy} {d\tau})^2 ) d\tau^2$

$ds = r \prime d\tau$

$|\vec r(\tau)\prime \times \vec r(\tau + d\tau) \prime | = r(\tau)\prime r(\tau + d\tau) \prime sin(\alpha)$

$\frac {ds} {sin(\alpha)} = r(\tau) \prime d\tau \frac { r(\tau) \prime r(\tau + d\tau)\prime } { |\vec r(\tau) \prime times \vec r(\tau + d\tau) \prime | } = r(\tau) \prime d\tau \frac { r(\tau) \prime r(\tau + d\tau)\prime } { |\vec r(\tau) \prime \times \vec r(\tau + d\tau) \prime - \vec r(\tau) \prime| } =$

$= r(\tau) \prime \frac { r(\tau) \prime r(\tau + d\tau)\prime } { |\vec r(\tau) \prime \times \frac {\vec r(\tau + d\tau) \prime - \vec r(\tau) \prime} {d\tau}| }$

$R = \lim_{d\tau \rarr 0} {\frac {ds} {\alpha}}$

$R = \frac {r \prime ^3} {| r \prime \times r \prime \prime |}$