Площадь

Площадь
Площадь
\ S
Размерность

Единицы измерения
СИ

м²

СГС

см²

Примечания

скаляр

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры[1], неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

Для приближенного вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный приборпланиметр.

Содержание

Свойства

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, а также для искривлённых трёхмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими[2].

Общий метод определения площади

Площадь плоской фигуры

Декартовы координаты

Определённый интеграл как площадь фигуры
Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале [a, b] и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

S = \int\limits_a^b f(x)\, dx

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций f(x),\, g(x)на интервале [a, b] находится как разность определённых интегралов от этих функций:

S = \int\limits_a^b \left | f(x)-g(x) \right |\, dx

Полярные координаты

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции r=r(\theta ) и лучами \theta = \theta_1, \theta = \theta_2, \theta_1<\theta_2 вычисляется по формуле:

S =  {1 \over 2} \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} r^2(\theta) \, d\theta .

Площадь поверхности

Площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v),, даётся двойным интегралом:

 S = \iint\limits_A \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv.

То же в координатах:

S = \iint\limits_A \sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

Здесь \frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}.

Единицы измерения площади

Метрические единицы

Русские устаревшие

Мерами земли при налоговых расчетах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли:коробья, веревка, жеребья и др.

Античные

Формулы вычисления площадей простейших фигур

Area.svg

Планиметрические фигуры

Фигура Формула Переменные
Квадрат s^2\,\! s — длина стороны квадрата.
Правильный треугольник \frac{\sqrt{3}}{4}s^2\,\! s — длина стороны треугольника.
Правильный шестиугольник \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\,\! s — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник 2(1+\sqrt{2})s^2\,\! s — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник \frac{P^2/n} {4 \cdot \tan(\pi/n)}\,\! P — периметр, а n — количество сторон.
Прямоугольный треугольник \frac{ab}{2}\,\! a и b — катеты треугольника.
Произвольный треугольник \frac{1}{2}ah\,\! a — сторона треугольника, h — высота, проведенная к этой стороне.
\frac{1}{2}ab \sin \alpha\,\! a, b — любые две стороны, \alpha — угол между ними.
\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\,\! (формула Герона) a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр  \left(p = \frac{a+b+c}{2}\right).
\frac{1}{2}\begin{vmatrix}  x_0 & y_0 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} в случае обхода вершин треугольника по часовой стрелке получим положительный результат, иначе отрицательный.
Прямоугольник ab \,\! a и b — длины сторон прямоугольника (его длина и ширина).
Параллелограмм ah\,\! a и h — длина стороны и опущенной на неё высоты соответственно.
ab \sin \alpha\,\! a и b — соседние стороны параллелограмма, \alpha — угол между ними.
Ромб \frac{1}{2}cd c и d — длины диагоналей ромба.
Эллипс \pi ab \,\! a и b — длины малой и большой полуосей.
Трапеция \frac{1}{2}(a+b)h \,\! a та b — параллельные стороны, и h — расстояние между ними (высота трапеции).

Формулы для вычисления площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур

Фигура Формула Переменные
Круг \pi r^2 \,\! или \frac{\pi d^2}{4} \,\! r — радиус, а d — диаметр круга.
Сектор круга \frac{\alpha r^2}{2}\,\! r — радиус круга, \alpha — центральный угол сектора (в радианах).
Сегмент \frac{r^2}{2}(\alpha - \sin \alpha)\,\! r — радиус круга, \alpha — центральный угол сегмента (в радианах).
Треугольник, вписанный в окружность \frac{abc}{4R} a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.
Произвольный многоугольник, описанный вокруг окружности \frac{1}{2}Pr\,\! r — радиус окружности, вписанной в многоугольник, и P — периметр многоугольника.

Формулы для вычисления площади поверхности тел в пространстве

Тело Формула Переменные
Полная площадь поверхности цилиндра 2\pi r^2+2\pi r h \,\! r и h — радиус и высота соответственно.
Площадь боковой поверхности цилиндра 2 \pi r h \,\! r и h — радиус и высота соответственно.
Полная площадь конуса \pi r (l + r) \,\! r и l — радиус и высота боковой поверхности соответственно.
Площадь боковой поверхности конуса \pi r l \,\! r и l — радиус и образующая боковой поверхности соответственно.
Площадь поверхности сферы (шара) 4\pi r^2\,\! или \pi d^2\,\! r и d радиус и диаметр, соответственно.

См. также

Литература

  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2

Ссылки

Примечания

  1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 4.
  2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1966. — Т. 2. — С. 186-224. — 800 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Площадь" в других словарях:

  • ПЛОЩАДЬ — ПЛОЩАДЬ, площади, пред. о площади и (устар.) на площади, мн. и площадей, жен. (книжн.). 1. Часть плоскости, ограниченная ломаной или кривой линией (геом.). Площадь прямоугольника. Площадь криволинейной фигуры. 2. только ед. Пространство,… …   Толковый словарь Ушакова

  • ПЛОЩАДЬ — жен. ровное место. Европейская Россия одна площадь, особенно южная. Гора будто срезана, вершина площадью. Лес на площади растет, на плоскости, а не в горах. Площадь в городах или селеньях, незастроенный простор, шире улиц, майдан. Площадь… …   Толковый словарь Даля

  • ПЛОЩАДЬ — одна из количественных характеристик плоских геометрических фигур и поверхностей. Площадь прямоугольника равна произведению длин двух смежных сторон. Площадь ступенчатой фигуры (т. е. такой, которую можно разбить на нескольких примыкающих друг к… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ПЛОЩАДЬ — круглых дураков. Разг. Шутл. ирон. Площадь Пролетарской Диктатуры в Ленинграде – Санкт Петербурге. Синдаловский, 2002, 143. Площадь Леннона. Жарг. мол., муз. Шутл. Станция метро «Площадь Ленина». Синдаловский, 2002, 143. Площадь соображений. Жарг …   Большой словарь русских поговорок

  • площадь — См …   Словарь синонимов

  • Площадь —         открытое, архитектурно организованное, обрамлённое какими либо зданиями, сооружениями или зелёными насаждениями пространство, входящее в систему других городских пространств. Предшественниками городских площадей были парадные дворы… …   Художественная энциклопедия

  • ПЛОЩАДЬ — (1) одна из основных математических величин, количественно характеризующих геометрические фигуры на (см.) или на (см.). Является важной величиной в научных исследованиях, при технических расчётах машин, механизмов, сооружений, электрических… …   Большая политехническая энциклопедия

  • ПЛОЩАДЬ — ПЛОЩАДЬ, мера части поверхности, занимаемой фигурой. Единицей измерения служит площадь единичного квадрата. Измерение площади приближенно осуществляется заполнением фигуры единичными квадратами …   Современная энциклопедия

  • ПЛОЩАДЬ — ПЛОЩАДЬ, двумерное измерение плоскости, фигуры или тела (например, страницы книги), выраженное в квадратных единицах, например, см2 или м2. Площадь прямоугольника со сторонами а и b равняется ab; площади треугольника и других многоугольников… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ПЛОЩАДЬ — ПЛОЩАДЬ, и, мн. и, ей, жен. 1. Величина чего н. в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах. П. треугольника. П. участка. 2. Незастроенное большое и ровное место (в городе, селе), от к рого обычно расходятся в разные стороны улицы. Красная …   Толковый словарь Ожегова

  • ПЛОЩАДЬ — открытое, обрамленное какими либо зданиями или зелеными насаждениями пространство, входящее в систему других городских пространств; нередко играет важную градостроительную роль. Среди наиболее известных площадей Красная пл. в Москве, Дворцовая пл …   Большой Энциклопедический словарь

Книги

  • Площадь, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Площадь — численная характеристика двумерной (плоской… Подробнее  Купить за 1125 руб
  • Площадь, Чхе (Цой) Ин Хун. Роман "Площадь" выдающегося южнокорейского писателя посвящен драматическому периоду в корейской истории. Герой романа участвует в событиях, углубляющих разделение родины, осознает трагичность… Подробнее  Купить за 523 руб
  • Площадь Революции, Борис Евсеев. Сборник прозы Б. Евсеева включает в себя небольшой роман "Площадь Революции" (публикуется впервые) и шесть новых рассказов. Главная героиня "Площади Революции", молодая москвичка Воля… Подробнее  Купить за 138 руб
Другие книги по запросу «Площадь» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.