- Архимедова спираль
-
Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.
Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:
- (1)
где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.
Рис. 1Повороту прямой на
соответствует смещение a = |BM| = |MA| =
. Число a — называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).Рис. 2Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям
соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.
Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали
. При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.
Площадь сектора
Площадь
сектора OCM:
,
где
,
,
.
При
,
,
, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:
,
где
— площадь круга, радиус которого равен шагу спирали —
.
Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.
Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
Бесконечно малый отрезок дуги
равен (см. Рис.3):
,
где
— приращение радиуса
, при приращении угла
на
. Для бесконечно малого приращения угла
, справедливо:
.
Поэтому:
так как
и
или
.
Длина дуги
равна интегралу от
по
в пределах от
до
:
.
Категории:- Кривые
- Спирали
- Трансцендентные кривые
- (1)
Wikimedia Foundation. 2010.