Кривая

Кривая

Кривая или линия — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно.

Содержание

Элементарная геометрия

В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры». По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и также трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы.

Параметрические определения

Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в пространство:

\gamma:[a,b]\to X

При этом, кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если [a,b]=[0,1], путями.

Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые

\gamma_1:[a_1,b_1]\to X и \gamma_2:[a_2,b_2]\to X

эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) h из отрезка [a_1,b_1] на отрезок [a_2,b_2], такая что

\gamma_1\equiv\gamma_2\circ h.

Определяемые этим отношением классы эквивалентности называются непараметризованными кривыми или просто кривыми.

Кривая Жордана

Кривой Жордана называется образ непрерывного инъективного отображения окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой или простой дугой.

Следует отметить что кривая Жордана является довольно сложным объектом, например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега.

Комментарий

Существует большой соблазн определить кривую как образ непрерывного отображения отрезка в пространство.

Однако возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат, например, кривая Пеано. Более того, согласно теореме Мазуркевича, компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.

Аналитические кривые

Аналитическая кривая на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0, где F является аналитической функцией. При этом на функцию F накладываются ограничения, которые гарантируют, что

  • это уравнение имеет бесконечное множество несовпадающих решений и
  • это множество решений не заполняет «куска плоскости».

Аналогично определяются аналитические кривые в старших размерностях.

Алгебраические и трансцендентные кривые

Важный класс аналитических кривых составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае кривая, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической, в противном случае — трансцендентной.

Алгебраические кривые, определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в алгебраической геометрии. При этом бо́льшую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на комплексной проективной плоскости. В этом случае алгебраическая кривая определяется уравнением вида

F(z_1, z_2, z_3) = 0,

где F — однородный многочлен трех переменных, являющихся проективными координатами точек.

Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать через линию уровня аналитической функции (или, в многомерном случае, системы функций).

Примеры

Типы кривых

Типы точек на кривой

Обобщённые кривые

Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы:

Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.

Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая L, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество L', гомеоморфное L. Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.

Впоследствии это определение было обобщено Урысоном:

Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство C топологической размерности 1.

Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.

См. также

Литература

Ссылки

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «кривая»

Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Кривая" в других словарях:

  • кривая — график, диаграмма; с кривая, парабола, гипербола, годограф, изофота, циклоида, кардиоида, эвольвента, спираль, трактриса, овал, изоэнтропа, эволюта, изентропа, рулетта, изостата, циссоида, логарифмика, изолюкса, спирограмма, изохора, индикатриса …   Словарь синонимов

  • КРИВАЯ LM — (LM curve) Кривая, применяемая в макроэкономических моделях, демонстрирующая условия равновесия на денежном рынке. Кривая LM показывает такие сочетания национального дохода Y и процентной ставки r, при которых ожидаемый спрос на деньги L… …   Экономический словарь

  • кривая ПС — кривая самопроизвольной поляризации — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы кривая самопроизвольной поляризации EN SP curve …   Справочник технического переводчика

  • КРИВАЯ — КРИВАЯ, непрерывное одномерное множество точек. В математическом понимании прямая линия также является кривой, а в аналитической геометрии кривая это геометрическое место точек, удовлетворяющих некоторому уравнению …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • КРИВАЯ IS — кривая, отражающая взаимосвязь ставки процента и реального национального продукта в условиях, когда планируемые инвестиции (I) равны планируемым сбережениям (S). Кривая имеет отрицательный наклон, свидетельствующий о том, что по мере падения… …   Большой экономический словарь

  • КРИВАЯ — см. в ст. Линия …   Большой Энциклопедический словарь

  • кривая — КРИВОЙ, ая, ое; крив, крива, криво. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • КРИВАЯ — англ. curve; нем. Kurve. Обычно линия вообще, не исключая частного случая прямой. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии

  • КРИВАЯ LM — кривая, каждая точка которой отражает взаимосвязь ставки процента и реального национального продукта для спроса на деньги (L), равного денежному предложению (M) …   Большой экономический словарь

  • кривая — 1. Непрямая линия, а также любая линия на плоскости или в пространстве. 2. Линия, изображающая рост или падение чего нибудь в развитии какого нибудь процесса. [http://www.lexikon.ru/dict/buh/index.html] Тематики бухгалтерский учет …   Справочник технического переводчика

Книги

  • Кривая вращения галактики, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Ротационная кривая галактики может быть представлена… Подробнее  Купить за 1382 руб
  • Кривая, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Кривая или линия — геометрическое понятие, определяемоев… Подробнее  Купить за 998 руб
  • Кривая Коха, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году… Подробнее  Купить за 998 руб
Другие книги по запросу «Кривая» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.