- Строфоида
-
Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится так (см. Рис. 1):
В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.
В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.
Содержание
Уравнения
Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол
(для прямоугольной системы координат
), записывается так:
.
Уравнение прямой строфоиды:
.
Уравнение строфоиды в полярной системе координат:
.
Параметрическое уравнение строфоиды:
, где
.
Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.
В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.
История
Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.
Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.
Нахождение касательной
В точке
производная
, то есть в точке
существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен
.
ВыводТангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:
, где
.
Дифференцируем данное уравнение:
отсюда
Радиус кривизны
в точке
определяется так:
.
Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой
Площадь петли строфоиды слева от оси ординат
.
Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат
.
ВыводУравнение верхней дуги
:
(1)
Половина площади левой петли строфоиды равна интегралу от уравнения (1) в пределах от
до
.
(2)
Подстановка:
.
Пределы интегрирования:
Интеграл (2) преобразуется к виду:
(3)
Первый интеграл из уравнения (3):
(4)
Подстановка:
.
Пределы интегрирования:
.
Интеграл (4) преобразуется к виду:
.
Второй интеграл из уравнения (3):
(5)
Подстановка:
.
Пределы интегрирования:
.
Интеграл (5) преобразуется к виду:
.
Итак:
Площадь
равна:
.
Если координата
стремится к
, то правые ветви строфоиды стремятся к
, но площадь между линией
и асимптотой
конечна и определяется интегралом (2) в пределах от
до
. В этом случае площадь получится отрицательной, так как уравнение (1) описывает ветвь OU', а площадь, заключенная между этой ветвью и лучом OX и лучом BU — отрицательна. Если вычислить интеграл (2) в пределах от
до
, получим следующее выражение для площади
:
.
Объём тела вращения
Объём (
) тела, образованного при вращении дуги
вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:
(6)
Итак:
.
Объём (
) тела, образованного при вращении ветви
вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от
до
, где
:
.
Если
, то
, то есть
.
Категория:- Кривые
Wikimedia Foundation. 2010.