- Непрерывное отображение
-
Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция в математике — это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и т. п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и т. д.
В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.
Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.
Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.
Содержание
Определения
Наиболее общее определение даётся в топологии.
Непрерывность в топологических пространствах
Отображение
топологического пространства
в топологическое пространство
называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:
.
Непрерывность на подпространстве
Если рассмотреть некоторое подмножество
множества
, то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология
, которую составляют всевозможные пересечения множества
с множествами, входящими в топологию
.
Отображение
, непрерывное на множестве
, будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.
Непрерывность в точке
Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.
Отображение
называется непрерывным в точке
, если для любой окрестности
точки
найдется такая окрестность
точки
, что
.
Отображение, непрерывное на некотором множестве, будет непрерывным в каждой точке данного множества.[1]
Эквивалентные определения
Следующие ниже формулировки эквивалентны:
- прообраз всякого открытого множества открыт;
- прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
- прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
- предел значений последовательности точек области определения, сходящейся к некоторой точке, существует и в точности равен значению функции в данной точке;
- образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
- замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.
Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.
Непрерывность в метрических и нормированных пространствах
В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):
Отображение
метрического пространства
в метрическое пространство
называется непрерывным в точке
, если для всякого
существует
, что для всякого
, такого, что
, выполняется неравенство:
.
Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.
Пусть,
отображение между нормированными пространствами с нормами
и
соответственно. Функция
непрерывна в точке
, если для любого числа
найдётся такое число
, что для всех точек
, таких что
выполнено неравенство
,
Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.
Непрерывные функции (функционалы)
В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала
(или
.), где
- произвольное топологическое пространство, следующее:
Фунционал
, называется непрерывным в точке
, если для любого
найдется окрестность
этой точки, такая, что
выполнено условие
.
Множество непрерывных на
функционалов (функций) принято обозначать
. Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.
Непрерывная числовая функция
Пусть,
. (или
.). Функция
непрерывна в точке
, если для любого числа
найдётся такое число
, что для всех точек
условие
влечет
.
Другими словами, функция
непрерывна в точке
, предельной для множества
, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:
Функция
непрерывна на множестве
, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция
класса
и пишут:
или, подробнее,
.
Свойства непрерывных отображений
- Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество
- Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.
- Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.
- Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.
- (Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.
- Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
- Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
- Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть
- пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве
. Пусть
- подмножество
, содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае
тогда и только тогда, когда
, существует
, такая что
.
Связанные определения
- Гомеоморфизм - непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
- Равномерная непрерывность
См. также
- Пространство непрерывных функций
- Линейный непрерывный оператор
- Предел функции
- Общая топология
- Топологическое пространство
- Открытое отображение
- Равномерная непрерывность
Ссылки
Математические Этюды Мультик про непрерывность
Примечания
- ↑ В математическом анализе понятие непрерывности сначала формулируется локально, в некоторой точке, а непрерывность на множестве определяется как непрерывность в каждой точке данного множества.
Литература
Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.
Категории:- Общая топология
- Метрическая геометрия
- Математический анализ
- Типы функций
Wikimedia Foundation. 2010.