Алгебраическая геометрия


Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет абстрактную алгебру с геометрией. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем уравнений, задаваемых многочленами.

Алгебраическая геометрия обязана своим появлением нуждам теории абелевых интегралов, в которой были получены замечательные результаты, касающиеся алгебраических кривых и имеющие чисто геометрический смысл. Например, используя интегралы первого рода, К. Шварц доказал, что кривая, допускающая непрерывную группу бирациональных преобразований в себя, бирационально эквивалентна прямой или эллиптической кривой. Классический период алгебраической геометрии относится ко второй половине XIX века и представлен, главным образом, итальянской школой от Кремоны до Энрикеса.

В 30-х и 40-х годах XX века, идеи построения алгебраической геометрии на основе коммутативной алгебры, интенсивно развивавшейся в то время, восходят к О. Зарисскому и А. Вейлю. Развитие современной алгебраической геометрии во многом связано с работами французского математика А. Гротендика, который построил её на языке схем.

Содержание

Основные понятия

Аффинные многообразия

Аффинное многообразие — это множество нулей многочлена или системы многочленов от нескольких переменных.

Пример. В декартовых координатах окружность радиуса 1 с центром в начале координат задаётся уравнением

g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0. \,

Изменяя выбор основного поля, то есть рассматривая многочлен g(x, y) = x^2 + y^2 - 1\, как элемент кольца многочленов k[x,y], мы получаем пример аффинного многообразия над полем k.

Схема

Обобщением понятия многообразия как множества решения системы уравнений является понятие схемы.Аффинная схема это топологическое пространство X = Spec A (спектр кольца A) вместе с пучком функций, заданных на пространстве X.


См. также

Литература

  • Alexander Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, Publications mathématiques de l’IHÉS, 1960.
  • Alexander Grothendieck, Séminaire de Géometrie Algébrique
  • Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия. — М.: Мир, 1979.
  • Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.
  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970, на сайте nehudlit.ru.
  • Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. (в 3 томах)М.: ИЛ, 1954—1955.
  • Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — т.т.1-2, М.: Наука, 1988.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Алгебраическая геометрия" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий алгебраические кривые (поверхности) и их многомерные обобщения алгебраические многообразия …   Большой Энциклопедический словарь

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями. Простейший из таких объектов плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) многочлен от… …   Энциклопедия Кольера

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий геометрич. объекты, связанные с коммутативными кольцами: алгебраические многообразия и их различные обобщения ( схемы, алгебраические пространства и др.). В наивной формулировке предмет А. г. составляет изучение… …   Математическая энциклопедия

  • алгебраическая геометрия — раздел математики, изучающий алгебраические кривые (поверхности) и их многомерные обобщения  алгебраические многообразия. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, изучающий алгебраические кривые (поверхности) и… …   Энциклопедический словарь

  • Алгебраическая геометрия —         раздел математики, изучающий алгебраические многообразия. Так называются множества точек в n мерном пространстве, координаты которых (x1, x2,...,xn ) являются решениями системы уравнений:          F1(X1, Х2 ..., Xn) = 0,          Fm(X1,… …   Большая советская энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий алгебр. кривые (поверхности) и их многомерные обобщения алгебр. многообразия …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами — (другое название  универсальная алгебраическая геометрия[1])  раздел математики, изучающий связи между элементами алгебраической системы, которые варажаются на языке алгебраических уравнений над алгебраическими системами. Классическая… …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ АБСТРАКТНАЯ — раздел алгебраической геометрии, в к ром изучаются общие свойства алгебраических многообразий над произвольными полями, а также их обобщения схемы. Хотя первые работы в А. г. а. появились еще в 19 в., особенно бурное развитие этой области… …   Математическая энциклопедия

  • Амёба (алгебраическая геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Amoeba (значения). Амёба линейного многочлена …   Википедия

  • Геометрия — (от др. греч. γῆ  Земля и μετρέω  «мерю»)  раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения[1]. Содержание …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Алгебраическая геометрия» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.