Отрезок

Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок — множество точек, которое обычно изображается ограниченной частью прямой.

Отрезок в геометрии

Отрезок прямой — это множество (часть прямой), состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. При этом сама точка в геометрии является абстрактным объектом, не имеющим никакой длины и вообще каких-либо измеряемых характеристик. Отрезок прямой, соединяющий две точки $\;A$ и $\;B$ (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом — $[A;\;B]$. Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок $\;AB$». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как $\;|AB|$.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел $x~$, удовлетворяющих неравенству $a \le x \le b$, где заранее заданные вещественные числа $a~$ и $b~$ $(a<b)~$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа $x~$, удовлетворяющие неравенству $a<x<b~$, называются внутренними точками отрезка.^[1]

Отрезок обычно обозначается $[a, b]$:

$[a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}$.

Любой отрезок заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число $b-a\,$ называется длиной числового отрезка $[a, b]$.

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой $\{[a, b] | a, b \in \R \land a < b\}$.

Система сегментов обозначается $\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}$. Подразумевается, что каждому натуральному числу $~n$ поставлен в соответствие отрезок $~[a_n, b_n]$.

Система сегментов $\{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty}$ называется стягивающейся, если^[2]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  $\forall n \in \N \colon [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  $\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

$\forall \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} ~ \exists ! c \in \R ~ \forall n \in N \colon c \in [a_n, b_n]$

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

Направленный отрезок

Основная статья: Вектор (математика)

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки $AB$ и $BA$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, выше указанные направленные отрезки не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Примечания

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
2. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также

• Интервал
• Промежуток
• Алгоритмы построения отрезка
• Прямая