Однородная функция

Однородная функция степени $q$ — числовая функция $f:\R^n\to\R$ такая, что для любого $\mathbf{v}\in\R^n$ и $\lambda \in\R$ выполняется равенство:

$f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v}) \qquad\qquad (*)$

причём $q$ называют порядком однородности.

Различают также

• положительно однородные функции, для которых равенство $(*)$ выполняется только для положительных $\lambda$ ($\lambda > 0$)
• абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
      $f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v})$
• ограниченно однородные функции, для которых равенство $(*)$ выполняется только для некоторых выделенных значений $\lambda$
• комплексные однородные функции $f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$ для которых равенство (*) справедливо при $\mathbf{v}\in\mathbb{C}^n$ и $\lambda \in\R$ или $\lambda \in\mathbb{C}$ (а также для комплексных показателей $q \in\mathbb{C}$)

Свойства

1. Если функция  $f$  является многочленом от  $n$  переменных, то она будет однородной функцией степени  $q$  в том и только в том случае, когда  $f$ — однородный многочлен степени  $q.$  В частности в этом случае  $q$  должно быть целым.
2. Функция  $f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1)$ , где  $h(t_2,t_3,...,t_n)$ — функция  $(n-1)$  переменных, является однородной функцией с порядком однородности  $q.$  Функция  $f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),$  где  $h(t_2,t_3,...,t_n)$ — функция  $(n-1)$  переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности  $q.$ 
3. Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена:  $f(\mathbf{0}) = 0.$  Получается при подстановке в равенство (*) значения  $\lambda=0.$ 
4. Соотношение Эйлера: для однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:  $\mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v})$  или, в эквивалентной записи,  $\sum x_k f'_{x_k} = qf.$  Получается при дифференцировании равенства (*) по  $\lambda$  при  $\lambda=1.$ 
5. Если  $f(x_1,x_2,...,x_n)$ — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  $q$ , то её первые частные производные  $f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n)$ — это однородные функции c порядком однородности  $q-1$.  Для доказательства достаточно продифференцировать по  $x_k$  правую и левую части тождества  $f(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^q f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$  и получить тождество  $f'_{x_k}(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^{q-1} f'_{x_k}(x_1, x_2, \ldots, x_n).$ 

Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности $q$ может быть представлена в форме

     $f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),$ 

где  $h(t_2,t_3,...,t_n)$ — некоторая функция  $(n-1)$  переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности  $q$  может быть представлена как

  $f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1),$ 

где  $h(t_2,t_3,...,t_n)$ — некоторая функция  $(n-1)$  переменных.

Доказательство. Сделаем взаимно-однозначную замену переменных  $x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n,$  где  $t_k = x_k/x_1,$  так что  $f(x_1,x_2,...,x_n) = g(x_1,t_2,...,t_n).$  Тогда  $g(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = \lambda^q g(x_1,t_2,t_3,...,t_n).$  «Заморозим»  $t_2,...,t_n.$  Сделаем замену  $y= \log |x_1|,$  так что  $g(x_1,t_2,t_3,...,t_n)\to G(y,t_2,...,t_n)$  и  $g(\lambda x_1,t_2,t_3,...,t_n)\to G(y+\log\lambda,t_2,...,t_n).$  После логарифмирования получим равенство  $\log G(y+\log\lambda,...)=q\log\lambda+\log G(y,...).$  Единственным решением функционального уравнения  $\forall y,\mu \; \varphi(y+\mu) = \varphi(y)+q\mu$  является функция  $\varphi(y) = qy+const$  (следует из дифференцирования этого функционального уравнения по $\mu$  при  $\mu=0$).  Поскольку в нашем случае  $const = const(t_2,...,t_n)=\log h(t_2,...,t_n),$  после потенцирования (операция, обратная логарифмированию), получим требуемый результат:  $f(x_1,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,...,x_n/x_1).$ 

Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы функция  $f(x_1,x_2,...,x_n)$  была однородной функцией с порядком однородности  $q,$  необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

 $\sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).$ 

Доказательство. Необходимость получается из дифференцирования равенства (*) при  $\lambda=1.$  Для доказательства достаточности возьмём функцию  $\varphi(\lambda) = \lambda^{-q} f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)$  при «замороженных»  $x_1,x_2,...,x_n.$  Продифференцируем её по  $\lambda:$ 

 $\varphi'(\lambda) = -q \lambda^{-q-1}f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) + \lambda^{-q}\sum f'_{x_k}(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) x_k.$ 

В силу условия  $\sum (\lambda x_k)\cdot f'_{x_k}(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) = q f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)$  получаем  $\varphi'(\lambda) = 0$  и  $\varphi(\lambda) = c = const.$  Константу  $c$  определяем из условия  $\varphi(1) = f(x_1,x_2,...,x_n).$  В результате  $\lambda^q\varphi(\lambda) = f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n) = \lambda^{q} f(x_1,x_2,...,x_n).$ 

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности (*) справедливо в некотором интервале значений  $\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]\sub \left[0,\infty\right),$  то оно справедливо для всех  $\lambda>0.$ 

Доказательство. Продифференцируем соотношение (*) по  $\lambda$  в точке  $\lambda=\lambda_0:$ 

 $\sum x_k f'_{x_k}(\lambda_0 x_1, \lambda_0 x_2, ..., \lambda_0 x_n) = q \lambda_0^{q-1} f(x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{q}{\lambda_0} f(\lambda_0 x_1, \lambda_0 x_2, ..., \lambda_0 x_n).$ 

Это значит, что в точке  $y_k=\lambda_0 x_k$  выполнено соотношение Эйлера, причём в силу произвольности точки  $(x_1, x_2, ..., x_n)$  точка  $(y_1, y_2, ..., y_n)$  тоже произвольна. Повторив приведённое выше доказательство теоремы Эйлера об однородной функции, мы получим, что в точке  $(y_1, y_2, ..., y_n)$  выполнено соотношение однородности, причём для произвольного  $\lambda > 0.$  Точку  $(x_1, x_2, ..., x_n)$  можно выбрать так, чтобы точка  $(y_1, y_2, ..., y_n)$  совпала с любой наперед заданной точкой пространства. Следовательно, в каждой точке пространства соотношение (*) выполняется при любом  $\lambda > 0.$ 

Лямбда-однородные функции

Пусть задан вектор  $\mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n).$  Функция $n$ переменных  $f(x_1,x_2,...,x_n)$  называется $\lambda$-однородной c порядком однородности  $q$ , если при любых  $t>0$  и любых  $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\in {\R}^n$  справедливо тождество

$f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^qf(x_1,x_2,...,x_n).$

При  $\lambda_k=1$  $\lambda$-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  $q$  вводят степень однородности  $m$,  определяемую из соотношения

$f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^{m\frac{|\mathbf{\lambda}|}{n}}f(x_1,x_2,...,x_n),$

где  $|\mathbf{\lambda}|=\sum|\lambda_k|.$  Для обычных однородных функций порядок однородности  $q$  и степень однородности  $m$  совпадают.

Если частные производные  $f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n)$  непрерывны в $\R^n$, то для $\lambda$-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  $\lambda$-однородности в точке  $t=1$:

$\sum \lambda_x x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).$

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  $f(x_1,x_2,...,x_n)$  была $\lambda$-однородной функцией с вектором  $(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$  и порядком однородности  $q.$  Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию  $\varphi(t) = t^{-q} f(t^{\lambda_1} x_1,t^{\lambda_2} x_2,...,t^{\lambda_n} x_n)$  и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  $\varphi(t) \equiv \varphi(1).$

Если  $f(x_1,x_2,...,x_n)$ — $\lambda$-однородная функция с вектором  $\mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$  и порядком однородности  $q$,  то она же является $\lambda$-однородной функцией с вектором $\mathbf{\lambda} = (\alpha\lambda_1,\alpha\lambda_2,...,\alpha\lambda_n)$  и порядком однородности  $\alpha q$  (следует из подстановки в тождество для $\lambda$-однородности нового параметра  $t'\to t^{\alpha}$). В силу этого при рассмотрении $\lambda$-однородных функций достаточно ограничиваться случаем  $\sum|\lambda_k|=const.$  В частности, нормировка  $\sum|\lambda_k|$  может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  $q$  был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что  $\lambda_k \neq 0.$ 

При замене переменных  $x_k=y_k^{\lambda_k}$  $\lambda$-однородная функция  $f(x_1,x_2,...,x_n)$  с вектором  $\mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$  и порядком однородности  $q$  переходит в обычную однородную функцию  $g(y_1,y_2,...,y_n)$  с порядком однородности  $q$.  Отсюда следует, что общее представление для $\lambda$-однородных функций с вектором  $\mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$  и порядком однородности  $q$  имеет вид:

$f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^{q/\lambda_1}\cdot h(x_2^{1/\lambda_2}/x_1^{1/\lambda_1}, x_3^{1/\lambda_3}/x_1^{1/\lambda_1}, \ldots, x_n^{1/\lambda_n}/x_1^{1/\lambda_1}),$

где $h(t_2,t_3,...,t_n)$ — некоторая функция $(n-1)$ переменных.

Источник: Я.С.Бугров, С.М.Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера

Дифференциальный оператор

$x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}$

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Аналогичным образом для дифференциального оператора

$\lambda_1 x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}$

собственными функциями являются $\lambda$-однородные функции с вектором  $(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$  и только они, причём собственным значением является порядок однородности $\lambda$-однородной функции.

Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler's theorem on homogeneous functions (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функции

Функция  $f(x_1,x_2,\ldots,x_n): \R^n\to\R$  называется ограниченно однородной с показателем однородности  $q$  относительно множества положительных вещественных чисел  $\Lambda$  (называемого множеством однородности), если для всех  $\vec x\in \R^n$  и для всех  $\lambda \in \Lambda$  справедливо тождество

$f(\lambda \vec x) = \lambda^q f(\vec x).$

Множество однородности  $\Lambda$  всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  $\Lambda$  не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  $\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]$ — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  $\Lambda \neq \{ 1 \}$  и у которых множество однородности  $\Lambda$  сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  $f(x)=x^q\sin(\log |x|)$  является ограниченно однородной с показателем однородности  $q$  относительно множества  $\Lambda=\{e^{2\pi m}\},$  где  $m$ — целые числа.

Пример 2. Функция  $f(x,y,z)=(x^2+2y^2+3z^2)^{q/2}\cos(\log \sqrt{x^2-xy+y^2})$  является ограниченно однородной с показателем однородности  $q$  относительно множества  $\Lambda=\{e^{2\pi k}\},$  где  $k$ — целые числа.

Теорема. Чтобы функция  $f(x_1,x_2,...,x_n),$  определённая при  $x_1>0,$  была ограниченно однородной с порядком однородности  $q,$  необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

 $f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log x_1,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1),$ 

где  $H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n)$ — функция, периодическая по переменной  $y$  с по крайней мере одним периодом, не зависящим от  $t_2,t_3,\ldots,t_n.$  В таком случае множество однородности  $\Lambda$  состоит из чисел  $\{e^{Y_k}\},$  где  $Y_k$ — периоды функции  $H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),$  не зависящие от  $t_2,t_3,\ldots,t_n.$ 

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Cделаем замену переменных

 $x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n,$  где  $t_k = x_k/x_1,$ 

так что  $f(x_1,x_2,...,x_n) = g(x_1,t_2,...,t_n).$  Если теперь рассмотреть функцию  $h(x_1,t_2,...,t_n) = g(x_1,t_2,...,t_n)/x_1^q,$  то из условия однородности получаем для всех допустимых  $x_1$  равенство

 $h(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,t_3,...,t_n),$ 

которое будет справедливым, когда  $\lambda\in\Lambda.$  Если только множество  $\Lambda$  не состоит из одной лишь единицы, то после замены  $x_1 = \exp(y)$  функция

 $H(y,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,...,t_n)$ 

оказывается периодической по переменной  $y$  с ненулевым периодом  $\log\lambda$  для любого выбранного фиксированным образом  $\lambda\in\Lambda,$  поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

 $H(\log x_1 + \log\lambda,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n).$ 

Очевидно, что выбранное фиксированное значение $\log\lambda$  будет периодом функции  $H(y,t_2,...,t_n)$  сразу при всех  $t_2,...,t_n.$ 

Следствия:

1. Если имеется наименьший положительный период  $Y>0,$  не зависящий от  $t_2,t_3,\ldots,t_n,$  то множество однородности  $\Lambda$  имеет вид  $\{e^{mY}\},$  где  $m=0,\pm1,\pm2,\dots$ — произвольные целые числа. (Если  $Y$ — наименьший положительный период функции  $H(y,...),$  то и все  $Y_m=mY$ — её периоды, поэтому числа  $\{e^{mY}\}$  будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  $\lambda_{*}=e^{Y_{*}},$  что  $e^{mY} < e^{Y_{*}} < e^{(m+1)Y},$  то  $Y_{*} - mY$  окажется положительным периодом, не зависящим от  $t_2,...,t_n,$  который будет меньше, чем  $Y.$ )
2. Если функция  $H(y,\ldots)$ — это константа по переменной  $y,$  то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае  $H(y,\ldots)$  не зависит от переменной  $y,$  и функция
       $f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1)$ 
   — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  $\Lambda$  в этом случае — вся положительная полуось  $\lambda>0$  (по меньшей мере).
3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции  $H(y,...)$  не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности  $\Lambda$  может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений  $t_2,t_3,\ldots,t_n$  у периодической функции  $H(y,...)$  есть предел по переменной  $y$  хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  $y.$ 
4. Ограниченно однородные функции, определённые при  $x<0,$  имеют вид
       $f(x_1,x_2,...,x_n) = (-x_1)^q \cdot H(\log (-x_1),x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1)$ 
   с надлежащим образом выбранной функцией  $H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),$  периодической по переменной  $y.$ 
5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  $x=0,$  имеют вид
       $f(x_1,x_2,...,x_n) = |x_1|^q \cdot H_{\pm}(\log |x_1|,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1),$ 
   с надлежащим образом выбранной функцией  $H_{\pm}(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),$  периодической по переменной  $y$  (где обозначение  $H_{\pm}(\ldots)$  подчёркивает, что для интервала значений  $x>0$  и для интервала значений  $x<0$  выбираются, вообще говоря, разные периодические функции, но имеющие один и тот же период).
6. Формула  $f(x_1,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log |x_1|,x_2/x_1,\ldots,x_n/x_1),$  является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию  $H(y,t_2,\dots,t_n\ldots)$  как  $G\left(w\cdot y+\log W(t_2,\dots,t_n),t_2,\dots,t_n\right),$  где период функции  $G\left(t,t_2,\dots,t_n\right)$  равен  $2\pi,$  нормировочный множитель  $w$  не зависит от  $t_2,\dots,t_n,$  а функция  $W(t_2,\dots,t_n)$  выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
       $f(x_1,...,x_n) = F(\log Q(x_1,\ldots,x_n), x_1,\ldots,x_n),$ 
   где  $F(y, x_1,x_2,\ldots,x_n)$ — однородная функция с показателем однородности  $q$  по переменным  $x_1,x_2,\ldots,x_n$  и периодическая с периодом  $2\pi$  по переменной  $y,$   $Q(x_1,x_2,\ldots,x_n),$ — фиксированная однородная функция с показателем однородности  $w$  по переменным  $x_1,x_2,\ldots,x_n,$  а множество однородности имеет вид  $\Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},$  где  $m=0,\pm1,\pm2,\dots$ — произвольные целые числа.
7. Разлагая периодическую функцию  $F(y, x_1,\ldots,x_n)$  из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
       $A_0(x_1,\ldots,x_n)+\sum A_k(x_1,\ldots,x_n)\cos k \log Q(x_1,\ldots,x_n)+B_k(x_1,\ldots,x_n)\sin k \log Q(x_1,\ldots,x_n),$ 
   где  $A_k(x_1,\ldots,x_n)$  и  $B_k(x_1,\ldots,x_n)$ — произвольные однородные функции с показателем однородности  $q,$   $Q(x_1,\ldots,x_n)$ — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности  $w,$  а множество однородности  $\Lambda=\{e^{mY}\},$  записано как  $\Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},$  где  $m$ — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности  $q$  и множеством однородности  $\Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}.$  В частности, замена фиксированной функции  $Q(x_1,\ldots,x_n)$  на набор произвольных однородных функций  $Q_k(x_1,\ldots,x_n)$  не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.

Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. - Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И.М.Гельфанд, З.Я.Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И.М.Гельфанд, З.Я.Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями

1. Пусть

 $f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C\left(\lambda\right)f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)$ 

при некоторой функции  $C\left(\lambda\right)$  на интервале  $\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right].$  Какова должна быть функция  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)?$ 

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  $\lambda.$  Получим

 $x_1\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_n} = \frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda} f (x_1,\dots,x_n).$ 

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  $x_k,$  получим соотношения

 $\lambda \frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_k} = C\left(\lambda\right) \frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}.$ 

Отсюда

 $\frac{1}{f(x_1,\dots,x_n)}\left(x_1\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1}+\dots+x_n\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_n}\right) = \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}.$ 

Правая часть зависит только от  $\lambda,$  левая часть зависит только от  $x_1,x_2,\dots,x_n$  Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  $q.$  Из условия  $\frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}=q$  и условия  $C\left(1\right)=1$  следует, что  $C\left(\lambda\right)=\lambda^q.$  Следовательно,  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)$ — однородная функция с параметром однородности $q.$  Вырожденные случаи $C\left(\lambda\right)\equiv 0$  и $f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\equiv 0$  рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  $C\left(1\right)=1,$  вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  $C\left(\lambda\right)$  за пределами интервала  $\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right].$ . Из равенства

 $\frac{1}{f}\left(x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) = q$ 

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)$ — однородная функция с параметром однородности $q.$  Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  $\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right],$  то оно справедливо при всех  $\lambda>0.$ 

2. Пусть

 $f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)$ 

при некоторых фиксированных значениях  $C \neq 0,$   $\lambda \ne 1$  и произвольных  $x_1, x_2, \dots, x_n.$  Какова должна быть функция  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)?$ 

Решение. Если  $x_1 = 0,$  то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

 $f\left(0, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(0, x_2, \dots, x_n\right),$ 

пока не сведётся к случаю  $f\left(0, 0, \dots, 0\right)=C f\left(0, 0, \dots, 0\right)$  с очевидным ответом $f\left(0, 0, \dots, 0\right)=0.$  Поэтому далее можно рассматривать только случай  $x_1 \neq 0.$ 

Сделаем замену переменных  $x_1=y,$   $x_2=t_2 \cdot y,$   $x_3=t_3 \cdot y,$   $x_n=t_n \cdot y.$  Тогда  $f(x_1,x_2,\dots,x_n)\to F(y,t_2,\dots,t_n)$  и функциональное уравнение принимает вид

 $F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(y, t_2, \dots, t_n\right).$ 

Следует отдельно рассматривать случаи  $C>0$  и  $C<0,$   $\lambda>0$  и  $\lambda<0,$   $y>0$  и  $y<0.$  Пусть  $C>0,$   $\lambda>0$  и  $y>0.$  Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены  $\log y \to t ,$   $\log F(y,\dots) \to \Phi (t,\dots)$  получаем условие

 $\Phi\left(t+\log\lambda, \dots\right)=\log C + \Phi\left(t, \dots\right),$ 

откуда следует, что  $\Phi\left(t, \dots\right)$  имеет вид  $\Omega\left(t, \dots\right) + \frac{\log C}{\log \lambda}t,$  где  $\Omega\left(t, \dots\right)$ — функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $\log \lambda.$  Обратное очевидно: функция

 $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log x_1, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right),$ 

где  $\Omega\left(t, \dots\right)$ — функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $\log \lambda,$  удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для  $x_1>0.$ 

Для полуоси  $x_1<0$  используется замена  $\log (-y) \to t$  и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если  $x_1 > 0$  то  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{+}\left(\log (+x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (+x_1)}{\log \lambda}\right),$ 

б) если  $x_1 < 0$  то  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{-}\left(\log (-x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (-x_1)}{\log \lambda}\right),$ 

или, в сокращённой форме

 $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right),$ 

где обозначение  $\Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \dots\right)$  подчёркивает, что при  $x_1>0$  и при  $x_1<0$   $\Omega_{\pm}\left(t,\dots\right)$ — это, вообще говоря, две разные периодические функции с областью определения  $t\in(-\infty,+\infty).$ 

Случай  $C<0,$   $\lambda>0$  упрощается тем, что из цепочки соотношений

 $F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right)$ 

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)$  может быть записана как

 $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right),$ 

где  $\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)$ — некоторая функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $2\log \lambda.$  Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что  $\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)$ — не просто периодическая функция с периодом  $2\log \lambda,$  но анти-периодическая с периодом  $\log \lambda:$ 

 $\Omega_{\pm}\left(t+\log\lambda, \dots\right)=-\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)$ 

(очевидным образом анти-периодичность с периодом  $\log \lambda$  влечёт за собой периодичность с периодом  $2\log \lambda$). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией  $\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)$  удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай  $\lambda<0$  имеет дополнительную особенность, что полуоси  $y<0$  и  $y>0$  влияют друг на друга. Рассмотрим случай $y>0.$  Тогда из цепочки соотношений

 $F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right)$ 

следует, что при  $x_1>0$  функция  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)$  должна иметь вид

 $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),$ 

где  $\Omega\left(t, \dots\right)$ — функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $2\log |\lambda|$  и областью определения  $t\in(-\infty,+\infty).$  Поскольку  $\lambda<0,$  то каждой положительной точке  $x_1>0$  взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка  $\lambda x_1 <0$  со значением функции, равным  $C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right).$ . В результате с учётом периодичности функции  $\Omega\left(t, \dots\right)$  функция  $f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)$  вычисляется как

а) при  $x_1>0:$   $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),$ 

б) при  $x_1<0:$   $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=sign(C) \cdot \Omega\left(\log |x_1| + \log|\lambda|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right) \exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),$ 

где  $\Omega\left(t, \dots\right)$ — функция, периодическая по переменной  $t$  с периодом  $2\log |\lambda|.$  Как легко проверить, определённая подобным образом функция  $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$  для случая  $\lambda<0$  действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при  $x_1>0,$  так и при  $x_1<0.$ 

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых  $C_0, \lambda_0,$  то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений  $\left(C,\lambda\right).$  Так, для случая  $C_0>0, \lambda_0>0$  множеством таких пар будут  $\lambda_k=\lambda_{0}^{k/m},$   $C_k=C_0^{k/m}$  при любых ненулевых целочисленных значениях  $k=\pm1,\pm2,\dots,$  где целое число  $m$  выбрано так, чтобы величина  $|\log\lambda_{0}|/m$  была наименьшим положительным периодом для функции  $\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right).$  Введя обозначение  $q=\log C_0/\log \lambda_0$  так что  $C_0=\lambda_0^q,$  получим условие  $C_k\equiv\left(\lambda_k\right)^q,$  соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена  $\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right)\to x_1^q$  приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.

Однородные обобщённые функции

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство  $\mathbb{S}$  функций  $\varphi(x)=\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n),$  имеющих производные любого порядка и при  $\left|x\right|\to\infty$  убывающих быстрее любой степени  $\frac{1}{\left|x\right|}.$  При этом любой обычной функции $f(x)$,  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

$T_f \left[\varphi\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)dx,$

определённый в пространстве  $\varphi\in\mathbb{S}$  и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т.д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как  $\delta$-функция и её производные.

Для обычных интегрируемых функций  $f(x_1,\dots,x_n),$  являющихся однородными с показателем однородности  $q,$  справедливо легко проверяемое тождество

$T_f \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_f \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right]. \qquad\qquad\qquad (**)$

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности  $q$  (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве  $\varphi\in\mathbb{S}$  и удовлетворяющий тождеству (**).

Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция  $T_k\left[\varphi\right]$  порядка  $k$  с показателем однородности  $q$ — это линейный непрерывный функционал, для всякого  $\lambda>0$  удовлетворяющий соотношению

$T_k \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_k \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right] + \lambda^{q+n}\log\lambda \cdot T_{k-1} \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right],$

где  $T_{k-1}\left[\varphi\right]$ — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция  $(k-1)$ —го порядка с показателем однородности  $q.$  Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности  $q$ — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности  $q.$ 

Пример. Обобщённая функция  $\delta(x_1,x_2,\dots,x_n)$ — однородная обобщённая функция с показателем однородности  $(-n)$  поскольку  $\delta[\varphi({x_{1}}/\lambda,{x_{2}}/\lambda,\dots,{x_{n}}/\lambda)]=\varphi(0,0,\dots,0)=\delta[\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n)].$ 

Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию  $T^{+}_{q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx.$  Этот функционал определён при  $Re(q) > -1$  и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности  $q.$  Величину  $T^{+}_{q}$  при фиксированном выборе пробной функции  $\varphi\left(x\right)$  можно рассматривать как функцию комплексного переменного  $q$  и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

 $\int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx + \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)},$ 

аналитичны по переменной  $q$  и тождественно равны друг другу при  $Re (q) > -1.$  Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при  $Re (q) > -n.$  В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для  $Re (q) > -n.$  Как результат, равенство

 $T^{+}_{q}[\varphi(x)] = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx + \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)},$ 

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала  $T^{+}_{q}$  вплоть до значений  $Re (q) > -n.$  Формулы для  $Re (q) > -n$  и для  $Re (q) > -m$  дают один и тот же результат при одинаковых значениях  $q,$  при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция  $T^{+}_{q},$  определённая теперь для всех  $q,$ , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью  $T^{+}_{q}\left[\varphi\right]$  определятся регуляризированные значения интеграла  $\int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx,$  имеющие смысл при любых комплексных  $q.$  Исключениями являются целочисленные значения  $q=-1,-2,\dots,-n,\dots,$  где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал  $T^{+}_{q}\left[\varphi\right]$  как функция переменной  $q$  в точке  $q=-n$  имеет простой полюс с вычетом  $\varphi^{(n-1)}(0)/(n-1)!.$ 

По той же схеме может быть аналитически продолжена для  $Re (q) \le -1$  присоединённая однородная функция  $T^{+}_{p,q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx.$  С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов  $\int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx,$  имеющие смысл при  $Re (q) \le -1.$ 

Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая  $n$  переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т.д.

Библиография: И.М.Гельфанд, З.Я.Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также

• Однородный многочлен
• Однородное уравнение
• Однородное дифференциальное уравнение
• Однородные координаты

Внешние ссылки

• Статья Homogeneous function в английской Википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function
• Статья Homogeneous distribution в английской Википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_distribution