Многочлен

Запрос «Полином» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

$\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$,

где $I=(i_1,i_2,\dots,i_n)$ есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), $c_I$ — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

Иначе говоря, многочленом называют сумму одночленов.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

$c_0 + c_1x^1 + \dots + c_nx^n.$

где $c_i$ фиксированные коэффициенты, а $x$ — переменная.

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.

Изучение и применение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения

• Многочлен вида $c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$ называется одночленом или мономом мультииндекса $I=(i_1,\dots,\,i_n)$.
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу $I=(0,\dots,\,0)$ называется свободным членом.
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена $c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$ называется целое число $|I|=i_1+i_2+\dots+i_n$.
  • Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты $c_I$ ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
• Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени.
• В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
• В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
• Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца $R$ (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом $R$ без делителей нуля) которое обозначается :$R[x_1,x_2,\dots,x_n].$

Полиномиальные функции

Пусть $A$ есть алгебра над кольцом $R$. Произвольный многочлен $p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ определяет полиномиальную функцию

$p_R:A\to A$.

Чаще всего рассматривают случай $A=R$.

В случае, если $R$ есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция $f_p:R^n\to R$ полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены $p_1(x)\equiv x$ и $p_2(x)\equiv x^2$ из $\Z_2[x]$ определяют тождественно равные функции $\Z_2\to\Z_2$.

Виды многочленов

• Многочлен одной переменной называется унитарным или однородным.
  • Например $x^2+xy+y^2$ — однородный многочлен двух переменных, а $x^2+y+1$ не является однородным.
• Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порожден одним элементом.
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Делимость

Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение $pq$ делится на неприводимый многочлен $\lambda$, то p или q делится на $\lambda$. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен $x^4-2$, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного $x$ разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого $n>2$ существуют многочлены от $n$ переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
• Квазимногочлен
• Тригонометрический многочлен

См. также

• Многочлен над конечным полем
• Бином
• Позином
• Корень многочлена
• Неприводимый многочлен
• Однородный многочлен
• Ортогональные многочлены
• Многогранник Ньютона
• Многочлен Лагранжа
• Многочлен Тейлора
• Многочлен Гильберта
• Многочлен Эрхарта
• Многочлен Чебышёва
• Многочлен Эрмита
• Симметрический многочлен
• Базис Грёбнера
• Сплайн
• Характеристический многочлен
• Теорема Гаусса — Лукаса
• Упорядочивание одночленов

Литература

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
• Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
• В. В. Прасолов Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.