Степенной ряд

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,$

в котором коэффициенты ${a_n}$ берутся из некоторого кольца ${R}$.

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из ${R}$ обозначается $R[[X]]$. Пространство $R[[X]]$ имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом ${R}$ (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ${R}$). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В $R[[X]]$ определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.$

Тогда:

$H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n$

$H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l$

$H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s}$ (при этом необходимо, чтобы соблюдалось $b_0=0$)

$H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}$

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной ${X}$ какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд $\Sigma \,a_n x^n$ сходится в точке ${x_0}$. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге ${|x|<|x_0|}$ и равномерно по ${x}$ на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при ${x=x_0}$, он расходится при всех ${x}$, таких что ${|x|>|x_0|}$. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга ${R}$ (возможно, нулевой или бесконечный), что при ${|x|<R}$ ряд сходится абсолютно (и равномерно по $x$ на компактных подмножествах круга ${|x|<R}$), а при ${|x|>R}$ — расходится. Это значение $R$ называется радиусом сходимости ряда, а круг ${|x|<R}$ — кругом сходимости.

• Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

${1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}$

(По поводу определения верхнего предела $\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}$ см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — два степенных ряда с радиусами сходимости ${R_F}$ и ${R_G}$. Тогда

$R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}$

$R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}$

$R_{F'}\, = \,R_F$

Если у ряда $G(x)$ свободный член нулевой, тогда

$R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G$

Вопрос о сходимости ряда в точках границы ${|x|=R}$ круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

• Признак Д’Аламбера: Если при $n>N$ и $\alpha>1$ выполнено неравенство

$\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)$

тогда степенной ряд $\Sigma \,a_n x^n$ сходится во всех точках окружности ${|x|=R}$ абсолютно и равномерно по $x$.

• Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда $\Sigma \,a_n x^n$ положительны и последовательность $a_n$ монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности ${|x|=1}$, кроме, быть может, точки ${x=1}$.
• Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке ${x=x_0}$. Тогда он сходится равномерно по ${x}$ на отрезке, соединяющем точки 0 и ${x_0}$.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра $x$ является предметом изучения теории аналитических функций.

См.также

• Круг сходимости

Вариации и обобщения

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$

или, в мультииндексных обозначениях,

$F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha},$

где $X$ — это вектор $X=(X_1,X_2,\dots,X_n)$, $\alpha$ — мультииндекс $\alpha = (k_1, k_2, \dots, k_n)$, $X^{\alpha}$ — одночлен $X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$. Пространство степенных рядов от $n$ переменных и коэффициентами из $R$ обозначается $R[[X_1,X_2,\dots,X_n]]$. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и $n$-местной суперпозиции. Пусть

$F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, G(X) = \sum\limits_{\alpha} b_{\alpha}X^{\alpha}, H(X) = \sum\limits_{\alpha}c_{\alpha}X^{\alpha}.$

Тогда:

$H = F + G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = a_{\alpha} + b_{\alpha}$

$H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = \sum\limits_{\beta+\gamma=\alpha} a_{\beta} b_{\gamma}$

$H = {\partial F \over \partial X_i} \Leftrightarrow \forall (k_1, k_2, \dots, k_n) \, c_{k_1, k_2, \dots, k_n} = (k_i+1)a_{(k_1, k_2, \dots, k_i+1, \dots, k_n)}$

Про пространство $R[[X_1,X_2,\dots,X_n]]$ можно сказать практически то же самое, что и про $R[[X]]$. ^{[источник не указан 1297 дней]}

См.также

• Ряд Пюизё