Степенной ряд

Степенной ряд

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,

в котором коэффициенты {a_n} берутся из некоторого кольца {R}.

Содержание

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из {R} обозначается R[[X]]. Пространство R[[X]] имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом {R} (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо {R}). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В R[[X]] определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.

Тогда:

H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n
H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l
H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s} (при этом необходимо, чтобы соблюдалось b_0=0)
H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной {X} какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

  • Первая теорема Абеля: Пусть ряд \Sigma \,a_n x^n сходится в точке {x_0}. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге {|x|<|x_0|} и равномерно по {x} на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при {x=x_0}, он расходится при всех {x}, таких что {|x|>|x_0|}. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга {R} (возможно, нулевой или бесконечный), что при {|x|<R} ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга {|x|<R}), а при {|x|>R} — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг {|x|<R} — кругом сходимости.

  • Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:
 {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}

(По поводу определения верхнего предела \varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty} см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть F(x) и G(x) — два степенных ряда с радиусами сходимости {R_F} и {R_G}. Тогда

R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}
R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}
R_{F'}\, = \,R_F

Если у ряда G(x) свободный член нулевой, тогда

R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G

Вопрос о сходимости ряда в точках границы {|x|=R} круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

  • Признак Д’Аламбера: Если при n>N и \alpha>1 выполнено неравенство
\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)
тогда степенной ряд \Sigma \,a_n x^n сходится во всех точках окружности {|x|=R} абсолютно и равномерно по x.
  • Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда \Sigma \,a_n x^n положительны и последовательность a_n монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности {|x|=1}, кроме, быть может, точки {x=1}.
  • Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке {x=x_0}. Тогда он сходится равномерно по {x} на отрезке, соединяющем точки 0 и {x_0}.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра x является предметом изучения теории аналитических функций.

См.также

Вариации и обобщения

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}

или, в мультииндексных обозначениях,

F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha},

где X — это вектор X=(X_1,X_2,\dots,X_n), \alpha — мультииндекс \alpha = (k_1, k_2, \dots, k_n), X^{\alpha} — одночлен X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}. Пространство степенных рядов от n переменных и коэффициентами из R обозначается R[[X_1,X_2,\dots,X_n]]. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и n-местной суперпозиции. Пусть

F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, G(X) = \sum\limits_{\alpha} b_{\alpha}X^{\alpha}, H(X) = \sum\limits_{\alpha}c_{\alpha}X^{\alpha}.

Тогда:

H = F + G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = a_{\alpha} + b_{\alpha}
H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = \sum\limits_{\beta+\gamma=\alpha} a_{\beta} b_{\gamma}
H = {\partial F \over \partial X_i} \Leftrightarrow \forall (k_1, k_2, \dots, k_n) \, c_{k_1, k_2, \dots, k_n} = (k_i+1)a_{(k_1, k_2, \dots, k_i+1, \dots, k_n)}

Про пространство R[[X_1,X_2,\dots,X_n]] можно сказать практически то же самое, что и про R[[X]]. [источник не указан 1297 дней]

См.также


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Степенной ряд" в других словарях:

  • СТЕПЕННОЙ РЯД — ряд вида a0+a1(x x0)+a2(x x0)2 +...+an(x x0)n+..., где коэфициенты a0, a1, a2, ..., an, ... не зависят от переменного x; x0 называется центром степенного ряда …   Большой Энциклопедический словарь

  • степенной ряд — ряд вида а0 + a1(x   x0) + а2(x   х0)2+ ... + an(x   x0)n + ..., где коэффициенты a0, a1, a2, ..., an, ... не зависят от переменного х; х0 называют центром степенного ряда. * * * СТЕПЕННОЙ РЯД СТЕПЕННОЙ РЯД, ряд вида a0+a1(x x0)+a2(x x0)2… …   Энциклопедический словарь

  • степенной ряд — laipsninė eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. power series vok. Potenzreihe, f rus. степенной ряд, m pranc. série en puissances, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Степенной ряд —         Ряд вида a0 + a1z + a2z2 +... + anzn +...,          где коэффициенты a0, a1, a2,..., an,... комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z. Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D = {z: |z| < R} с …   Большая советская энциклопедия

  • СТЕПЕННОЙ РЯД — 1)С. р. по одному комплексному переменному z функциональный ряд вида где a центр ряда, bk его коэффициенты, bk(z a)k члены ряда. Существует число r, называемое радиусом сходимости С. р. (1) и определяемое по формуле Коши Адамара такое, что при |z …   Математическая энциклопедия

  • Формальный степенной ряд — Формальный степенной ряд  формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу . В отличие от степенных рядов в анализе формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и соответственно не… …   Википедия

  • разложение в степенной ряд — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN power series expansion …   Справочник технического переводчика

  • ИНТЕГРО-СТЕПЕННОЙ РЯД — ряд, содержащий степени переменной функции под знаком интеграла. Пусть K(s, t1, ..., tk) функция непрерывная по совокупности переменных в кубе [a, b]k+1 и пусть U(s) произвольная непрерывная на [ а, b]функция. Выражение где a0, a1 ..., ak… …   Математическая энциклопедия

  • ЛАКУНАРНЫЙ СТЕПЕННОЙ РЯД — ряд с пропусками (лакунами), в к ром показатели пробегают не все числа из натурального ряда. В зависимости от свойств последовательности получено много свойств ряда (*). Так, если и ряд (*) сходится в круге то все точки окружности особые для /… …   Математическая энциклопедия

  • АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СТЕПЕННОЙ РЯД — асимптотический ряд по последовательности или по последовательности (см. Асимптотическое разложение функции). А. с. р. можно складывать, перемножать, делить и интегрировать точно так же, как и сходящиеся степенные ряды. Пусть функции и имеют при… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Степенной ряд» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»