Математический маятник

Математический маятник
Simple pendulum height.png

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения[1]. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

T = 2\pi \sqrt{L \over g}

и не зависит[2] от амплитуды колебаний и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Содержание

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

\ddot x + \omega^2\ \sin{x} = 0,

где \omega ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; \omega=\sqrt{g/L}, где L ― длина подвеса, gускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

\ddot x + \omega^2x = 0.

Решения уравнения движения

Гармонические колебания

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

~x = A \sin (\theta_0 + \omega t),

где A — амплитуда колебаний маятника, \theta_0 — начальная фаза колебаний, \omega — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

\sin \frac{x}{2} = \varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega t | \varkappa),

где \operatorname {sn} — это синус Якоби. Для \varkappa < 1 он является периодической функцией, при малых \varkappa совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр \varkappa определяется выражением

\varkappa = \frac{\varepsilon+\omega^2}{2\omega^2},

где \varepsilon = \frac{E}{mL^2} — энергия маятника в единицах t−2.

Период колебаний нелинейного маятника

T = \frac{2\pi}{\Omega}, \Omega = \frac{\pi}{2}\frac{\omega}{K(\varkappa)},

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

T = T_0 \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots \right\}
, где T_0 = 2\pi \sqrt\frac{L}{g} — период малых колебаний, \alpha — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

T = T_0 \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right).

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах 1096-1097 Сентябрьского выпуска заметок американского математического общества 2012 г.[3]:

T = \frac{2\pi}{M(\cos(\theta_0/2))} \sqrt\frac{L}{g},

где M(x) -- арифметико-геометрическое среднее числел 1 и x.

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.

Интересные факты

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

  • Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
  • Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.

Примечания

  1. Маятник — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
  2. в первом приближении
  3. Adlaj, S. An eloquent formula for the perimeter of an ellipse, Notices of the AMS 59(8), pp. 1096-1097.

Ссылки

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Нужна помощь с курсовой?

Полезное


Смотреть что такое "Математический маятник" в других словарях:

  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — см. Маятник …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — (см. МАЯТНИК). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983 …   Физическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — см. Маятник. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 …   Физическая энциклопедия

  • математический маятник — Материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль заданной плоской кривой. Примечание. Когда эта кривая является окружностью, расположенной в вертикальной плоскости, маятник называется круговым. [Сборник рекомендуемых… …   Справочник технического переводчика

  • математический маятник — см. Маятник. * * * МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК, см. Маятник (см. МАЯТНИК) …   Энциклопедический словарь

  • математический маятник — matematinė švytuoklė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mathematical pendulum; simple pendulum vok. mathematisches Pendel, n rus. математический маятник, m; простой маятник, m pranc. pendule mathématique, m; pendule simple, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Математический маятник —         материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль дуги окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически М. м. можно считать груз, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по… …   Большая советская энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — см. Маятник …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК — см Маятник …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • математический маятник — Материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль заданной плоской кривой …   Политехнический терминологический толковый словарь

Книги

Другие книги по запросу «Математический маятник» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»