ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ

- интеграл от алгебраической функции I рода, т. е. интеграл вида

5125-24.jpg

где R(z, w) - рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

5125-25.jpg

в к-pом f(z)- многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что интеграл (1) нельзя выразить через одни только элементарные функции. В том случае, когда такое выражение возможно, интеграл (1) наз. псевдоэллиптич. интегралом.

Название "Э. и." связано с тем, что они впервые появились при спрямлении дуги эллипса и других кривых 2-го порядка в работах кон. 17 - нач. 18 вв. Я. Бернулли (J. Bernoulli), И. Бернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлер (L. Euler) заложили основы теории Э. и. и эллиптических функций, возникающих при обращении эллиптич. интегралов.

Любой Э. и. можно выразить в виде суммы элементарных функций и линейных комбинаций к а н о н и ч е с к и х Э. и. I, II и III рода. Последние записываются, напр., след. образом:

5125-26.jpg

где с - параметр Э. и. III рода.

Дифференциал I рода dz/w конечен всюду на римановой поверхности F, соответствующей (2), дифференциалы II и III рода имеют соответственно особенность типа полюса с нулевым вычетом или простого полюса. Рассматриваемые как ф-ции верхнего предела интегрирования при фиксированном нижнем пределе, все три Э. и. на F многозначны.

Подвергая переменную z нек-рым преобразованиям, можно привести ф-цию w и основные Э. и. к н о р м а л ь н ы м ф о р м а м.

В приложениях чаще всего встречается н о р м а л ь н а я ф о р м а Л е ж а н д р а. При этом

5125-27.jpg

где k наз. м о д у л е м Э. и. k2 иногда наз. л е ж а н д р о-в ы м м о д у л е м, 5125-28.jpg -д о п о л н и т е л ь н ы м м о д у л е м. Обычно имеет место нормальный случай, когда 0<k< 1, a z = x =sin t - вещественная переменная. Э. и. I рода в нормальной форме Лежандра имеет вид

5125-29.jpg

и наз. также н е п о л н ы м Э. и. I рода; j = am и наз. а мп л и т у д о й Э. и. I р о д а. Амплитуда есть бесконечнознач-ная ф-ция от и. Обращение нормального интеграла I рода приводит к эллиптич. ф-ции Якоби.

Нормальный интеграл II рода в нормальной форме Лежандра имеет вид

5125-30.jpg

он наз. также н е п о л н ы м Э. и. II р о д а. Интегралы

5125-31.jpg

наз. п о л н ы м и Э. и. соответственно I и II рода. Лежанд-ровы интегралы I рода имеют периоды 4 К и 2iK',II рода- периоды 4 Е и 2i(K' - Е').

Нормальный интеграл III рода в нормальной форме Лежандра имеет вид

5125-32.jpg

где п2 - параметр (чаще всего -5125-33.jpg<п2<5125-34.jpg). При -5125-35.jpg<u2<0 или k2 <u2<1он наз. ц и р к у л я р н ы м и нт е г р а л о м, а при 0<n2<k2. или 1<п2 - г и п е р б о л ич е с к и м и н т е г р а л о м.

Наряду с эллиптич. ф-циями Э. и. находят многочисленные и важные применения в разл. вопросах анализа и геометрии, физики, в частности механики, астрономии и геодезии. Составлены таблицы Э. и., подробные руководства по теории Э. и. и эллиптич. ф-ций, а также сводки формул.

Лит.: Беляков В. М., Кравцова Р. И., Раппопорт М. Г., Таблицы эллиптических интегралов, т. 1-2, М., 1962-63; Ян-ке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М., 1977. Е. Д. Соломенцев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ" в других словарях:

  • Эллиптический интеграл — В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером. В современном представлении, эллиптический интеграл  это некоторая… …   Википедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл от алгебраической функцииIрода, т. е. интеграл вида где R(z, w) рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением в к ром f(z) многочлен 3 й или 4 й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что …   Математическая энциклопедия

  • Интеграл (значения) — Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… …   Википедия

  • ПСЕВДОЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл вида где R рациональная функция двух аргументов, f(z) многочлен 3 й или 4 й степени без кратных корней, к рый может быть выражен элементарно, т. е. через алгебраич. функции от z и логарифмы от таких функций. Напр., есть П. и. См.… …   Математическая энциклопедия

  • Определенный интеграл — Определённый интеграл как площадь фигуры В математическом анализе интегралом функции называют расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при нахождений таких величин как… …   Википедия

  • C++ Technical Report 1 — (TR1) является общим названием для стандарта ISO / IEC TR 19768, библиотеки расширений C++  это документ с предложением дополнений в стандарт библиотеки С++. Дополнения включают регулярные выражения, умные указатели, хэш таблицы, и… …   Википедия

  • Физический маятник — У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник. Физический маятник осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной… …   Википедия

  • Математический маятник — У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник. Математический маятник  осциллятор, представляющий собой механическу …   Википедия

  • Гипергеометрическая функция — (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда а при   как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого… …   Википедия

  • Эллипс — Не следует путать с Эллипсис. Эллипс, его фокусы и главные оси …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»