ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ

- интеграл от алгебраической функции I рода, т. е. интеграл вида

где R(z, w) - рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

в к-pом f(z)- многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что интеграл (1) нельзя выразить через одни только элементарные функции. В том случае, когда такое выражение возможно, интеграл (1) наз. псевдоэллиптич. интегралом.

Название "Э. и." связано с тем, что они впервые появились при спрямлении дуги эллипса и других кривых 2-го порядка в работах кон. 17 - нач. 18 вв. Я. Бернулли (J. Bernoulli), И. Бернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлер (L. Euler) заложили основы теории Э. и. и эллиптических функций, возникающих при обращении эллиптич. интегралов.

Любой Э. и. можно выразить в виде суммы элементарных функций и линейных комбинаций к а н о н и ч е с к и х Э. и. I, II и III рода. Последние записываются, напр., след. образом:

где с - параметр Э. и. III рода.

Дифференциал I рода dz/w конечен всюду на римановой поверхности F, соответствующей (2), дифференциалы II и III рода имеют соответственно особенность типа полюса с нулевым вычетом или простого полюса. Рассматриваемые как ф-ции верхнего предела интегрирования при фиксированном нижнем пределе, все три Э. и. на F многозначны.

Подвергая переменную z нек-рым преобразованиям, можно привести ф-цию w и основные Э. и. к н о р м а л ь н ы м ф о р м а м.

В приложениях чаще всего встречается н о р м а л ь н а я ф о р м а Л е ж а н д р а. При этом

где k наз. м о д у л е м Э. и. k² иногда наз. л е ж а н д р о-в ы м м о д у л е м, -д о п о л н и т е л ь н ы м м о д у л е м. Обычно имеет место нормальный случай, когда 0<k< 1, a z = x =sin t - вещественная переменная. Э. и. I рода в нормальной форме Лежандра имеет вид

и наз. также н е п о л н ы м Э. и. I рода; j = am и наз. а мп л и т у д о й Э. и. I р о д а. Амплитуда есть бесконечнознач-ная ф-ция от и. Обращение нормального интеграла I рода приводит к эллиптич. ф-ции Якоби.

Нормальный интеграл II рода в нормальной форме Лежандра имеет вид

он наз. также н е п о л н ы м Э. и. II р о д а. Интегралы

наз. п о л н ы м и Э. и. соответственно I и II рода. Лежанд-ровы интегралы I рода имеют периоды 4 К и 2iK',II рода- периоды 4 Е и 2i(K' - Е').

Нормальный интеграл III рода в нормальной форме Лежандра имеет вид

где п² - параметр (чаще всего -<п²<). При -<u²<0 или k² <u²<1он наз. ц и р к у л я р н ы м и нт е г р а л о м, а при 0<n²<k². или 1<п² - г и п е р б о л ич е с к и м и н т е г р а л о м.

Наряду с эллиптич. ф-циями Э. и. находят многочисленные и важные применения в разл. вопросах анализа и геометрии, физики, в частности механики, астрономии и геодезии. Составлены таблицы Э. и., подробные руководства по теории Э. и. и эллиптич. ф-ций, а также сводки формул.

Лит.: Беляков В. М., Кравцова Р. И., Раппопорт М. Г., Таблицы эллиптических интегралов, т. 1-2, М., 1962-63; Ян-ке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М., 1977. Е. Д. Соломенцев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.