Рациональная функция

Рациональная функция

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}

где  P_n(x_1,\dots,x_n),  Q_m(x_1,\dots,x_m) — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, где P(x) и Q(x) — многочлены.


Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства

Правильные дроби

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P^'_{n-m}(x) + \frac{P^{''}_{m-1}(x)}{Q_m(x)}

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x-a)^k (a — вещественный корень Q(x)) либо (x^2+px+q)^k (где x^2+px+q не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также


Формула

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Рациональная функция" в других словарях:

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным x и произвольными числами; имеет вид: R(x) = P(x)Q(x), где P(x) и Q(x) многочлены от x …   Большой Энциклопедический словарь

  • рациональная функция — функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами; имеет вид: R(х) = Р(х)/Q(х), где P(х) и Q(х)  многочлены от х. * * * РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ… …   Энциклопедический словарь

  • Рациональная функция —         функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. ф. имеет вид:                  где a0, a1, ..., an и b0, b1, ..., bm (a0 ≠ 0, b0(0)… …   Большая советская энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, получающаяся в результате конечного числа ариф метич. операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами; имеет вид: R(x) = P(x)/Q(x), где Р(х) и Q(x) многочлены от х …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 1) Р. ф. функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — см. Рациональная функция …   Математическая энциклопедия

  • Рациональная интерполяция — (интерполяция рациональными функциями)  представление интерполируемой функции (точнее говоря, ряда табличных значений) в виде отношения двух полиномов. Ряд функций, плохо интерполируемых полиномиальными методами, удаётся хорошо приблизить… …   Википедия

  • Рациональная дробь — Рациональная дробь  это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где P(x) и Q(x) некоторые многочлены. Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями.… …   Википедия

  • ЦЕЛАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — (алгебраический) многочлен, (алгебраический) полином, функция вида где п целое неотрицательное, коэффициенты а 0, . . ., а п действительные или комплексные числа, z действительное или комплексное переменное. Если пназ. степенью многочлена,… …   Математическая энциклопедия

  • Целая рациональная функция —         алгебраический многочлен, т. е. функция вида          w = a0 + a1z + a2z2 +... + anzn.          См. Многочлен …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»