Бесконечность

У этого термина существуют и другие значения, см. Бесконечность (значения).

Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означает невозможность указать для него границы или количественную меру. Точное значение этого термина несколько различается в зависимости от области применения — математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь.

Потенциальная и актуальная бесконечность

Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечна, то имеется в виду, что она может быть неограниченно увеличена. Альтернативой является понятие актуальной бесконечности, которая означает, что рассматривается (как реально существующая) величина, не имеющая конечной меры. Пример: второй постулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». Это потенциальная бесконечность. Если же рассмотреть всю бесконечную прямую, то она даёт пример актуальной бесконечности.

Античные философы и математики признавали, как правило, только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуально бесконечными атрибутами^[1]. Соответственно этой доктрине формулировались научные утверждения. Например, теорема о бесконечности множества простых чисел у античных математиков формулировалась так: «Каково бы ни было простое число P, существует простое число, большее, чем P».

Аристотель писал:

… Всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений ни задали, всегда потенциально можно поделить на большее число^[2].

Именно Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа, а также указав на пять источников представления о ней:

• время;
• разделение величин;
• неиссякаемость творящей природы;
• само понятие границы, толкающее за её пределы;
• мышление, которое неостановимо.

Бесконечность в культуре и философии

Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.

Математическому происхождению символа бесконечности предшествовал^[3] религиозный аспект. Подобные символы были найдены среди Тибетских наскальных гравюр; змея, кусающая свой хвост, или змея бесконечности, часто изображается в форме такого символа.

Понятие бесконечности получило развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии бесконечность долгое время рассматривалась также как атрибут пространства и времени; в наши дни это дискуссионный вопрос космологии. Например, древнейшим, первым известным, встречающимся в совершенно различных культурах символом бесконечности является змей Уроборос, иногда разворачиваемый в виде перевёрнутой восьмёрки.

Бесконечность в математике

В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы.^{[источник не указан 106 дней]} К примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), а целые числа включены в действительные. Таким образом, в этом случае «число элементов» (мощность) одного множества «бесконечней» «числа элементов» (мощности) другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор.

В математическом анализе ко множеству действительных чисел добавляются два символа $+\infty$ и $-\infty$, применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Сто́ит отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы, как и многие другие, были введены для сокращения записи более длинных выражений.

Символ

В 1655 году Джон Валлис издаёт большой трактат «О конических сечениях» (De sectionibus conicis), где на стр. 5 появляется придуманный им^[4][5] символ бесконечности: ∞. В Юникоде бесконечность обозначена символом ∞ (U+221E), он включён в типографскую раскладку Бирмана версии 2.0 ( AltGr  +  8 ).

См. также

• Апейрон
• Атомизм
• Бесконечно малая и бесконечно большая, особенно исторический очерк
• Мощность множества
• Уроборос
• Лемниската Бернулли
• Антиномия
• Вечность

Примечания

1. ↑ Аристотель о бесконечности
2. ↑ Физика III, 6.
3. ↑ Robertson, Robin; Combs, Allan. The Uroboros // Indra's Net: Alchemy and Chaos Theory as Models for Transformation. — Quest Books, 2009. — ISBN 9780835608626
4. ↑ Scott, Joseph Frederick (1981), «The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703)» (2 ed.), AMS Bookstore, с. 24, ISBN 0-828-40314-7, <http://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C> , Chapter 1, page 24
5. ↑ «COLOG-88: International Conference on Computer Logic Tallinn, USSR, December 12–16, 1988: proceedings», Springer, 1990, с. 147, ISBN 3-540-52335-9, <http://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC> , page 147

Литература

• Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: КомКнига, 2007. — ISBN 978-5-484-00525-3
• Виленкин Н. Я. В поисках бесконечности. — М.: Наука, 1983.
• Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — 446 с.

Ссылки

• Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств.
• To Infinity and Beyond - Horizon - BBC.