Аттрактор Лоренца

решение системы при r=0,3

решение системы при r=1,8

решение системы при r=3,7

решение системы при r=10

решение системы при r=16

решение системы при r=24,06

решение системы при r=28 ― собственно, это и есть аттрактор Лоренца

решение системы при r=100 ― виден режим автоколебаний в системе

Аттрактор Лоренца (от англ. to attract — притягивать) ― компактное инвариантное множество $L$ в трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым, оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из некоторой окрестности $~L$ стремятся к $~L$ при $~t\to\infty$ (отсюда название).

Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах Лоренца, исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:

$\begin{cases} \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end{cases}$

при следующих значениях параметров: σ=10, r=28, b=8/3. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b, но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

• конвекция в замкнутой петле;
• вращение водяного колеса;
• модель одномодового лазера;
• диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью.

Исходная гидродинамическая система уравнений:

$\begin{cases} \frac { \partial \vec v }{\partial t} + \left( \vec v \nabla \right) \vec v = -\frac {\nabla p}{\rho} + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g \\ \frac { \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \vec v \right) = 0 \\ \frac { \partial T }{\partial t} + \nabla \cdot \left( T \vec v \right) = \chi \nabla ^2 T \\ \rho = \rho_0 \left( 1 - \gamma \left( T - T_0 \right) \right) \end{cases},$

где $\vec v$ — скорость течения, $T$ — температура жидкости, $T_0$ — температура верхней границы (на нижней поддерживается $T_0 + \Delta T$), $\rho$ — плотность, $p$ — давление, $\vec g$ — сила тяжести, $\gamma,\ \chi,\ \nu$ — соответственно коэффициент теплового расширения, температуропроводности и кинематической вязкости.

В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска. Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник.

Применимость и соответствие реальности

Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.

• Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z — за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r — нормированное число Рэлея, σ — число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
• Конвекция в замкнутой петле. Здесь x — скорость течения, y — отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z — то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
• Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
• Одномодовый лазер. Здесь x — амплитуда волн в резонаторе лазера, y — поляризация, z — инверсия населённостей энергетических уровней, b и σ — отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r — интенсивность накачки.

Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.

Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.

Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра $~r$, так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.

Поведение решения системы

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран, построение графиков по полученным таблицам — из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.

• r<1 — аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.

• 1<r<13,927 — траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

$\begin{cases} x = \pm \sqrt{b(r-1)} \\ y = \pm \sqrt{b(r-1)} \\z = r-1 \end{cases}$

Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется структура из вращающихся валов жидкости.

• r≈13,927 — если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку — возникают две гомоклинические петли. Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия.

• r>13,927 — в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером» (англ. to repel — отталкивать).

• r≈24,06 — траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам — возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r≈24,74.

При больших значениях параметра траектория претерпевает серезные изменения. Шильников и Каплан показали, что при очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

Значимость модели

Модель Лоренца является реальным физическим примером динамических систем с хаотическим поведением, в отличие от различных искусственно сконструированных отображений («зуб пилы», «тент», преобразование пекаря, отображение Фейгенбаума и др.).

Программы, моделирующие поведение системы Лоренца

Borland C

#include <graphics.h>
#include <conio.h>
void main()
{
    double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
    double dt = 0.0001;
    int a = 5, b = 15, c = 1;
    int gd=DETECT, gm;
    initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
    do {
        x1 = x + a*(-x+y)*dt;
        y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
        z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
        x = x1; y = y1; z = z1;
        putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
                 (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    } while (!kbhit());
    closegraph();
}

Mathematica

data = Table[
   With[{N = 1000, dt = 0.01, a = 5, b = 1 + j, c = 1},
    NestList[Module[{x, y, z, x1, y1, z1},
       {x, y, z} = #;
       x1 = x + a (-x + y) dt;
       y1 = y + (b x - y - z x) dt;
       z1 = z + (-c z + x y) dt;
       {x1, y1, z1}] &,
     {3.051522, 1.582542, 15.62388}, N
     ]
    ],
   {j, 0, 5}];
Graphics3D@MapIndexed[{Hue[0.1 First[#2]], Point[#1]} &, data]

Borland Pascal

Program Lorenz;
Uses CRT, Graph;
Const
  dt = 0.0001;
  a = 5;
  b = 15;
  c = 1;
Var
  gd, gm: Integer;
  x1, y1, z1, x, y, z: Real;
Begin
  gd:=Detect;
  InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');
  x := 3.051522;
  y := 1.582542;
  z := 15.62388;
  While not KeyPressed Do Begin
      x1 := x + a*(-x+y)*dt;
      y1 := y + (b*x-y-z*x)*dt;
      z1 := z + (-c*z+x*y)*dt;
      x := x1;
      y := y1;
      z := z1;
      PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
               Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    End;
    CloseGraph;
    ReadKey;
End.

FORTRAN

program LorenzSystem
 
real,parameter::sigma=10
real,parameter::r=28
real,parameter::b=2.666666
real,parameter::dt=.01
integer,parameter::n=1000
 
real x,y,z
 
open(1,file='result.txt',form='formatted',status='replace',action='write')
 
x=10.;y=10.;z=10.
 
do i=1,n,1
    x1=x+sigma*(y-x)*dt
    y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
    z1=z+(x*y-b*z)*dt
    x=x1
    y=y1
    z=z1
    write(1,*)x,y,z
enddo
 
print *,'Done'
 
 close(1)
 
end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC(«fbc -lang qb»)

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE
DIM a, b, c AS INTEGER
x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001
a = 5: b = 15: c = 1
SCREEN 12
PRINT "Press Esc to quit"
WHILE INKEY$ <> CHR$(27)
    x1 = x + a * (-x + y) * dt
    y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
    z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
    x = x1
    y = y1
    z = z1
    PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
WEND
END

HTML5

<html>
<body>
  <canvas height='500' width='500' id='cnv'></canvas>
  <script>
        var cnv = document.getElementById("cnv");
        var cx = cnv.getContext('2d');
        var x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
        var dt = 0.0001;
        var a = 5, b = 15, c = 1;
        var h = parseInt(cnv.getAttribute("height"));
        var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));
        var id = cx.createImageData(w, h);
        var rd = Math.round;
        var idx = 0;
        i=1000000; while (i--) {
                x1 = x + a*(-x+y)*dt;
                y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
                z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
                x = x1; y = y1; z = z1;                         
                idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);
                id.data[idx+3] = 255;
        }
        cx.putImageData(id, 0, 0);
  </script>
</body>
</html>

IDL

PRO Lorenz
  n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r[0,*]=[3.051522,1.582542,15.62388] & a=5. & b=15. & c=1.
  FOR i=0.,n-2. DO r[i+1,*]=r[i,*] + [ a*(r[i,1]-r[i,0]), b*r[i,0]-r[i,1]-r[i,2]*r[i,0], r[i,0]*r[i,1]-c*r[i,2] ]*0.0001
  plot,19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.
END

Литература

• Кузнецов С. П., Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // Динамический хаос (курс лекций). — М.: Физматлит, 2001.
• Saltzman B. Finite amplitude free convection as an initial value problem. // Journal of the atmospheric science, № 7, 1962 — p. 329—341.
• Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. — М., 1981. — С. 88-116.

См. также

• Динамический хаос
• Теория хаоса
• Лемниската Бернулли

Ссылки

• Странные аттракторы. Сборник статей. Москва. 1981 Перевод с английского под редакцией Я. Г. СИНАЯ и Л. П. ШИЛЬНИКОВА

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.