Площадь фигуры

Площадь фигуры

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

  1. (положительность) площадь неотрицательна;
  2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура F называется квадрируемой, если для любого \varepsilon>0 существует пара многоугольников P и  Q, такие что P\subset F\subset Q и S(Q)-S(P)<\varepsilon, где S(P) обозначает площадь P.

Связанные определения

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Area.svg
Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник \tfrac14\sqrt{3}a^2\,\! a — длина стороны треугольника.
Треугольник \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\,\! Формула Герона.  p — полупериметр, a, b и c — длины сторон треугольника.
Треугольник \tfrac12 a b \sin(\alpha)\,\! a и b — две стороны треугольника, а \alpha — угол между ними.
Треугольник \tfrac12bh \,\! b и h — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат a^2\,\! a — длина стороны квадрата.
Прямоугольник ab \,\! a и b — длины сторон прямоугольника.
Ромб \tfrac12ab a и b — длины диагоналей ромба.
Параллелограмм bh\,\! b — длина одной из сторон параллелограмма, а hвысота, проведённая к этой стороне.
Трапеция \tfrac12(a+b)h \,\! a и b — длины параллельных сторон, а h — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник \tfrac32\sqrt{3}a^2\,\! a — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник 2\left(1+\sqrt{2}\right)a^2\,\! a — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник \frac{na^2} {4 \cdot \tan(\pi/n)}\,\! a — длина стороны многоугольника, а n — количество сторон многоугольника.
\tfrac12a p \,\! aапофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а p — периметр многоугольника.
Круг \pi r^2 или \frac{\pi d^2}{4} \,\! r — радиус окружности, а d — её диаметр.
Сектор круга \tfrac12 r^2 \theta \,\! r и \theta — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс \pi ab \,\! a и b — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра 2\pi r (r + h)\,\! r и h — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра 2 \pi r h \,\! r и h — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса \pi r (r + l) \,\! r и l — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса \pi r l \,\! r и l — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы 4\pi r^2\ \text{,}\ \pi d^2\,\! r и d — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида   См. статью.
  • Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
     S = \frac{1}{2}ah
  • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
     S = ab
  • Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
    S_{ABCD}= \frac{1}{2} AC\cdot BD\cdot\sin \beta ,
где \beta — угол между диагоналями.
  • Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
    S_{ABCD}= \frac{1}{2} AC\cdot BD
  • Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:  S = ah
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
    S= \frac{a+b}{2}\cdot h

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Площадь фигуры" в других словарях:

  • Площадь (значения) — Площадь: Площадь  величина, измеряющая размер поверхности. В математике Площадь фигуры  геометрическое понятие, размер плоской фигуры. Площадь поверхности  числовая характеристика поверхности. Площадь  в архитектуре, открытое… …   Википедия

  • Площадь — У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения). Площадь Размерность L² Единицы измерения СИ м² …   Википедия

  • Площадь треугольника — Стандартные обозначения Треугольник  простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника …   Википедия

  • Площадь Ленина (Петрозаводск) — Площадь Ленина Петрозаводск …   Википедия

  • Площадь (в геометрии) — Площадь, одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П. было уже в древности… …   Большая советская энциклопедия

  • ПЛОЩАДЬ — одна из количественных характеристик плоских геометрических фигур и поверхностей. Площадь прямоугольника равна произведению длин двух смежных сторон. Площадь ступенчатой фигуры (т. е. такой, которую можно разбить на нескольких примыкающих друг к… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ПЛОЩАДЬ (в геометрии) — ПЛОЩАДЬ, одна из количественных характеристик плоских геометрических фигур и поверхностей. Площадь прямоугольника равна произведению длин двух смежных сторон. Площадь ступенчатой фигуры (т. е. такой, которую можно разбить на нескольких… …   Энциклопедический словарь

  • ПЛОЩАДЬ — ПЛОЩАДЬ, площади, пред. о площади и (устар.) на площади, мн. и площадей, жен. (книжн.). 1. Часть плоскости, ограниченная ломаной или кривой линией (геом.). Площадь прямоугольника. Площадь криволинейной фигуры. 2. только ед. Пространство,… …   Толковый словарь Ушакова

  • Площадь (архитект.) — Площадь, открытое, архитектурно организованное, обрамленное какими либо зданиями, сооружениями или зелёными насаждениями пространство, входящее в систему других городских пространств. Предшественниками городских П. были парадные дворы дворцовых и …   Большая советская энциклопедия

  • Площадь Памяти (Тюмень) — Площадь Памяти Тюмень Общая информация …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Площадь фигуры» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»