Арифметика

Арифметика
Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век

Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική от ἀριθμός — число) — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа, вопросы о его происхождении, развитии (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и свойствах, измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением индивидуальных свойств целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика служит для определения и анализа понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является одной из основных математических наук, она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел[1][2].

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Наука развивалась вместе с усложнением задач и требований. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности пифагорейцы, которые пытались с помощью чисел определить все закономерности мира. В Средние века основными областями применения арифметики были торговля и приближённые вычисления. Арифметика развивалась в первую очередь в Индии и странах ислама и только затем пришла в Западную Европу. В XVII веке мореходная астрономия, механика, более сложные коммерческие расчёты поставили перед арифметикой новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию. Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь с определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

Арифметике уделяется большое внимание в начальном школьном образовании. В Средние века арифметика являлась одним из Семи свободных искусств.

Содержание

Предмет арифметики

Предметом арифметики является понятие числа как конкретной, вполне определённой, величины и его свойства, действия с числами[3]. В основном арифметика занимается изучением натуральных и рациональных чисел, или дробей[4]. На основе аксиоматической структуры множества натуральных чисел осуществляется построение других числовых множеств, включая целые, действительные и комплексные числа, проводится их анализ[1]. Иногда к арифметики относят также кватернионы и гиперкомплексные числа. В частности, Арнольд считал, что учение о числовом поле завершается теоремой Фробениуса[5]. К основным действиям над числами относят в первую очередь сложение, вычитание, умножение и деление[3], реже возведение в степень, извлечение корня[6] и решение численных уравнений[3]. Исторически список арифметических действий также включал собственно счёт, удвоение, деление на два и деление с остатком как отдельные действия независимые от собственно умножения и деления, нахождение суммы арифметической и геометрической прогрессий[7]. Непер в своей книге «Логистическое искусство» разделил арифметические действия по ступеням. На низшей ступени находятся сложение и вычитание, на следующей — умножение и деление, далее — возведение в степень и извлечение корней[8]. Аналогичное деление на ступени использовал Арнольд[ком. 1][10]. В целом, осуществление и исследование операций над различными объектами называют арифметикой, как-то «арифметика квадратичных форм», «арифметика матриц»[1]. К арифметике также относят исторические вопросы, связанные с происхождением и развитием понятия числа[1], и измерения[6].

Собственно математические расчёты и измерения, необходимые для практических нужд, как то пропорции, проценты, тройное правило, относят к низшей или практической арифметике[3], в то время как логический анализ понятия числа относят к теоретической арифметике[1]. Свойства целых чисел, деление их на части, построение непрерывных дробей являются составной частью теории чисел[1], которая долгое время носила название высшей арифметики[3]. Арифметика также тесно связана с алгеброй, которая занимается изучением собственно операций без учёта особенностей и свойств чисел[1][4]. Такие арифметические действия как возведение в степень, извлечение корней и решение численных уравнений являются технической частью алгебры. В этом ключе, вслед за Ньютоном и Гауссом, алгебру принято считать обобщением арифметики[3][6].

Арифметика как математическая дисциплина занимается изучением «бесконечной совокупности натуральных чисел». Как и прочие дисциплины, она сталкивается с принципиальными методологическими проблемами; для неё необходимо исследование вопросов непротиворечивости и полноты аксиом[3]. Логическими построениями формальной системы предикатов и аксиом арифметики занимается формальная арифметика[2].

Элементарная арифметика

Числа

Реконструкция абака

Орудиями счёта могут служит различные элементы или множества элементов. Порядковый счёт связан со счётом группами. Количество элементов в группе служит основанием для системы счисления. Обычно это пальцы на двух руках (основание равно 10), но встречается группировки по 5, 11, 12, 20, 40, 60, 80[4].

Нумерация, также как и название чисел, основана на трёх принципах[11]:

  • Аддитивном (additio — сложение) — знаки для 1, 10, 100 и повторение этих знаков (1n, 10n, 100n);
  • субтрактивном (subtractio — вычитание) — сочетание цифр mn, где m<n, равносильно разности n-m;
  • мультипликативном (multiplicatio — умножение) — сочетание цифр mn равносильно произведению, используется для названия десятков и сотен в индоевропейских языках, в частности, в русском.

Числовой ряд, получаемый при счёте, называется натуральным, а его элементы — натуральными числами. Понятие натурального ряда появляется впервые в работах греческого математика Никомаха в I веке н. э., а натурального числа — римского автора Боэция в конце V — начале VI века. Всеобщее употребление термина начинается с работ Даламбера в XVIII веке. Архимед в своей работе «Псаммит» указал, что числовой ряд можно продолжать неограниченно, но вместе с тем заметил, что для реальных задач достаточно небольшого отрезка[12]. Деление натуральных чисел на чётные и нечётные приписывается пифагорейцам, оно также присутствует в египетском папирусе Ринда. Пифагорейцы определили простые и составные числа[13].

Для натуральных чисел естественным образом определены операции сложения и умножения. Вычитание, которое является обратной операцией к сложению, позволяет выйти за пределы натурального ряда. Получившееся множество чисел носит название множества целых чисел и делится на положительные (совпадают с натуральным рядом) и отрицательные[6]. Впервые отрицательные числа появились в Индии и толковались как «долг» (положительные числа — «имущество»). Современное обозначение знаками «+» и «−» было введено немецким математиком Видманом в конце XIV века. Распространение же отрицательные числа получили только в XVII веке[14]. Последующее расширение числовой области происходит за счёт отношений, или дробей, в которых нет кратности[ком. 2].

Ещё в Древней Греции было известно о существовании несоизмеримых отрезков и проводились попытки получить для них точные числовые значения, что нашло отражение в «Началах» Евклида. Действительные числа стали объектом исследований только в XVII—XVIII веках. Во второй половине XIX века Дедекинд, Кантор и Вейерштрасс сформулировали свои теоретические построения[16].

Дальнейшее расширение было связано с невозможностью извлечения квадратного корня из отрицательного числа. С подобной задачей сталкивались в древности при решении квадратных уравнений, которые просто считали неразрешимыми. В первой половине XVI века стали выражать решения уравнений через корни из отрицательных чисел, которые стали называть «мнимыми», «невозможными», «воображаемыми» и т. д.[17]

Операции

Теория множеств рассматривает арифметические действия как особые отношения между тройками элементов, в которых один элемент определяется через два других, или алгебраические операции[18].

Сложение

При объединении двух наборов, содержащих некоторое количество предметов, новый набор будет иметь столько предметов, сколько было в первых двух наборах в сумме. Если первый набор содержал a предметов, а второй — b предметов, то их сумма будет содержать a+b=c предметов. Указанное действие носит название сложение, определяется символом «+» и является простейшей бинарной операцией. Из данного определения очевидным образом следуют коммутативный и ассоциативный законы сложения[6]. При аддитивной системе нумерации не обязательно знать таблицу сложения, достаточно осуществить пересчёт[19].

В 1810 году чешский математик Больцано определил действие сложения для натуральных чисел следующим образом: a+(b+1)=(a+b)+1. Независимо от него подобное определение дали немецкие математики Грассман в 1861 году и Ганкель в 1869 году[20]. В «Энциклопедии элементарной математики» даётся следующее определение сложения натуральных чисел[21]:

Определение. Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел a и b сопоставляет одно и только одно натуральное число a+b, обладающее следующими свойствами:

  • a+1=a' для любого a,
  • a+b'=(a+b)' для любых a и b.


Сложение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно[21].

Умножение

Последовательное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию — умножение. Очевидно, что для умножения выполняется коммутативный закон[6]. Помимо умножения в древности существовало отдельное арифметическое действие — удвоение, или умножение на два[22].

Умножение, как и сложение, определили независимо Больцано, Грассман и Ганкель. Умножение натуральных чисел выполняется по следующей формуле[20]: a\cdot(b+1)=a\cdot b+a. В «Энциклопедии элементарной математики» даётся следующее определение умножения натуральных чисел[23]:

Определение. Умножением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел a и b сопоставляет одно и только одно натуральное число ab (a\cdot b), обладающее следующими свойствами:

  • a\cdot 1=a для любого a,
  • a\cdot b'=a\cdot b + a для любых a и b.


Умножение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно. Для него выполняются законы дистрибутивности (левый и правый), коммутативности и ассоциативности[23].

Вычитание

Вычитание является операцией обратной сложению. Иными словами, результатом разности двух чисел a и b является корень уравнения b+x=a. Для разности натуральных чисел результат не всегда является натуральным числом[6]. Для выполнении операции применялось два приёма: отсчитывание от уменьшаемого числа единиц вычитаемого, или прибавление к вычитаемому такого числа, чтобы получилось уменьшаемое[22].

Термин лат. «subtractio», или вычитание, появился ещё у Боэция, термины вычитаемое и уменьшаемое ввёл в обиход Вольф в 1716 году, лат. «differentia», или разность, — Видман в 1489 году[22]. В Энциклопедии элементарной математики даётся следующее определение вычитания натуральных чисел[24]:

Определение. Вычитанием натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел a и b сопоставляет число a-b, обладающее следующим свойством:

  • (a-b)+b=a.


Разность натуральных чисел выполнима только когда a>b и единственна[24]. Расширение натуральных чисел за счёт свойств сложения и вычитания приводит к понятию целых чисел[25].

Деление

Первое определение деления — это поиск числа, которое содержится в делимом столько раз, сколько единиц содержится в делителе. Такое определение дано в учебниках арифметики XIV века. Деление считалось очень сложной и громоздкой операцией. Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельные разряды частного, представлен в итальянском манускрипте 1460 года[22]. В «Энциклопедии элементарной математики» даётся следующее определение деления натуральных чисел[24]:

Определение. Делением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел a и b сопоставляет число a:b, обладающее следующим свойством:

  • (a:b)\cdot b=a.


Деление натуральных чисел выполнимо только когда a\gg b, если частное существует, то оно единственно[24]. Расширение целых чисел за счёт понятий умножения и деления приводит к определению рациональных чисел[25].

Возведение в степень и взятие корня

По аналогии с тем, как многократное сложение позволяет определить умножение, вводится и другая операция — возведение в степень. Основные законы для этой операции при положительных степенях очевидным образом следуют из её определения. Расширение на нулевую и отрицательную степень следует из свойств деления. Обратная операция — взятие корня — возможна только при расширении числовой области засчёт иррациональных чисел[6].

Законы арифметики

Наглядный переместительный закон умножения

Пять законов арифметики считаются основными:

a+b=b+a
a*b=b*a
(a+b)+c=a+(b+c)
(a*b)*c=a*(b*c)
  • Распределительный закон в своих «Началах» доказывает Евклид, используя геометрический метод. Доказательство арифметических законов требует точного определения числа[27].
(a+b)*c=a*c+b*c

Помимо основных законов арифметики для натуральных чисел выполняются также законы монотонности сложения и умножения, аксиома Архимеда[28].

Теория чисел

Теория чисел — наука о целых числах — возникла из арифметических задач, связанных с делимостью чисел[29]. Она также носит название высшей арифметики. Элементарная теория чисел имеет дело с проблемами, которые решаются элементарными методами, обычно без использования мнимых чисел. К ней относят теорию делимости, теорию сравнений, неопределённые уравнения, разбиение на слагаемые, приближения рациональными числами, цепные дроби[30]. Основная теорема арифметики — о разбиении числа на простые сомножители единственным образом — также относится к элементарной теории чисел[31].

Отдельные подклассы целых чисел, такие как простые, составные, квадратные, совершенные числа, были выделены ещё древними греками. Они вывели формулы для определения пифагоровых троек, наибольшего общего делителя, показали бесконечность числа простых чисел. Диофант провёл систематизацию задач, связанных с целыми числами. Работа Диофанта были продолжены Ферма в XVII и Эйлером в XVIII веке. Ферма занимался решением уравнений в целых числах и сформулировал без доказательства малую и великую теорему Ферма. Эйлер, продолжая исследования Ферма, доказал малую теорему и частный случай великой теоремы Ферма. Он впервые применил математический анализ для решения задач теории чисел, создав таким образом аналитическую теорию чисел. Эйлер определил производящие функции, на основе которых были построены круговой метод и метод тригонометрических сумм[29].

В настоящее время, помимо элементарной и аналитической теории чисел, существуют такие разделы как аддитивная, алгебраическая, вероятностая, метрическая теория чисел[29].

Теоретическая арифметика

Теоретическое построение арифметики оперирует алгебраическими понятиями.

Натуральные числа

В 1891 году были представлены аксиомы Пеано для натуральных чисел. С тех пор аксиомы претерпели очень небольшое изменение[4][20].

Определение. Натуральными числами называются элементы всякого непустого множества \N, в котором для некоторых элементов a и b существует отношение «b следует за a» (число, следующее за a обозначается a'), для которого выполняются следующие аксиомы[32]:

  • Существует число 1, не следующее ни за каким числом, то есть a'\ne1 для любого числа a.
  • Для любого числа a существует следующее число a' и при том только одно, то есть из a=b следует a'=b'.
  • Любое число следует не более чем за одним числом, то есть из a'=b' следует a=b.
  • Любое множество M натуральных чисел, обладающее свойствами: 1 принадлежит M и если число a принадлежит M, то следующее число a' также принадлежит M, содержит все натуральные числа, то есть совпадает с \N.


Целые числа

Определение. Кольцом целых чисел называется минимальное кольцо \Z, содержащее множество \N всех натуральных чисел и обладающее следующими свойствами[33]:

  • \Z содержит \N;
  • \Z является кольцом;
  • Сложение и умножение натуральных чисел совпадают с одноимёнными операциями над этими числами в кольце \Z;
  • Кольцо \Z не содержит отличного от него подкольца, содержащего множество \N.

Элементы кольца \Z называются целыми числами.


Кольцо \Z существует и является единственным с точностью до изоморфизма, а каждый его элемент равен разности натуральных чисел. При построении кольца используется множество пар натуральных чисел вида (a,\;b), для которых определена эквивалентность следующим образом: (a,\;b) эквивалентно (c,\;d) тогда и только тогда, когда a+d=b+c. Далее определяются сложение и умножение пар (как разностей чисел)[33]:

  • (a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),
  • (a,\;b)\cdot(c,d)=(ac+bd,\;ad+bc).

Рациональные числа

В 1710 году Вольф высказал требование, что уже известные законы выполнения арифметических действий с целыми числами не могут напрямую применяться для дробей и должны получить своё обоснование. Само обоснование было разработано только в XIX веке с использованием принципа постоянства формальных законов[34].

Определение. Полем рациональных чисел называется минимальное поле \Q, содержащее кольцо \Z целых чисел и обладающее следующими свойствами[15]:

  • \Q содержит \Z;
  • \Q является полем;
  • сложение и умножение целых чисел совпадают с одноимёнными операциями над числами в поле \Z;
  • поле \Q не содержит отличного от него самого подполя, содержащего \Z.

Элементы поля \Q называются рациональными числами.


Поле \Q существует и является единственным с точностью до изоморфизма, а каждый его элемент равен частному целых чисел. Как и для целых чисел, при построении поля рациональных чисел используется пара (a,\;b), но теперь уже целых чисел, при этом b\ne0. Для пар определяется эквивалентность, сложение и умножение следующим образом[15]:

  • (a,\;b) эквивалентно (c,\;d) тогда и только тогда, когда ad=bc,
  • (a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),
  • (a,\;b)\cdot(c,d)=(ac,\;bd).

Действительные числа

Во второй половине XIX века было представлено три различных теоретических построения действительных чисел. Наиболее популярным является построение Дедекинда. Кантор в своём построении использовал теорию пределов[35].

Определение. Полем действительных чисел называется непрерывное поле \R, содержащее в качестве подполя поле \Q рациональных чисел. Элементы поля \R называются действительными числами[36].


Поле \R существует и является единственным с точностью до изоморфизма, а каждый его элемент равен пределу последовательности рациональных чисел[36].

Комплексные числа

Определение. Полем комплексных чисел называется минимальное поле \C, содержащее поле \R действительных чисел и элемент i такой, что i^2=-1, обладающее следующими свойствами[37]:

  • \C содержит \R;
  • \C является полем;
  • сложение и умножение целых чисел совпадают с одноимёнными операциями над числами в поле \R;
  • поле \C не содержит отличного от него самого подполя, содержащего \R.

Элементы поля \C называются комплексными числами.


Поле \C является алгебраически замкнутым. При построении поля комплексных чисел используется упорядоченная пара (a,\;b). Для пар определяется эквивалентность, сложение и умножение следующим образом:

  • (a,\;b) эквивалентно (c,\;d) тогда и только тогда, когда a=c и b=d,
  • (a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),
  • (a,\;b)\cdot(c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad).

Формальная арифметика

Для арифметики как математической дисциплины необходимо исследование непротиворечивости, полноты и корректности аксиом[4]. Логико-математическое построение носит название формальной арифметики. Постулаты и правила вывода формальной арифметики строятся на аксиомах Пеано и позволяют вывести любые теоремы элементарной теории чисел[38]. В языке формальной арифметики содержится 0, числовые переменные, символы (=, +, \cdot, ') и логические связки (\And, \leftarrow, \forall, \exists, \lor, \mathcal{e}), постулатами являются постулаты предикатов исчисления. Чаще всего формальная арифметика строится на аксиомах Пеано[2].

Средствами формальной арифметики можно записать теоремы теории чисел, которые доказываются не используя средства математического анализа, а также рекурсивные функции и их свойства[2]. Формальная арифметика эквивалентна аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы бесконечности[38].

Формальная арифметика удовлетворяет условиям теорем Гёделя о неполноте, поэтому невозможно доказать её непротиворечивость оставаясь в рамках теории. Кроме того, она корректна и полна. Доказательство непротиворечивости было проведено в 1936 году Генценом[38].

Компьютерная арифметика

Копия вычислительной машины Шиккарда

Кнут считал арифметические действия «уделом компьютеров»[39]. Первые вычислительные машины, которые позволяли механизировать четыре арифметических действия, были сконструированы в XVII веке. «Арифметическая машина» Шиккарда, как он сам её называл, была построена в 1623 году. Операции сложения и вычитания производились посредством вращения цилиндров, специальные цилиндры были также для умножения и деления. Кроме того, машина могла переносить десятки. Машина Паскаля была разработана им в 1642 году для помощи отцу в выполнении финансовых расчётов. Она имела тот же принцип действия, что и машина Шиккарда. Основную часть машины составлял механизм переноса десятков. Вместе с тем, ремесленное изготовление таких машин всё ещё оставалось невыгодным[40]. Попытки усовершенствовать арифмометр продолжались весь XVIII век, но только в XIX веке применение арифмометров получило широкое распространение[41].

В XX веке на смену арифмометрам пришли электронные вычислительные машины. В их основе лежат алгоритмы, которые используют наименьшее число элементарных операций для выполнения арифметических действий[1]. Компьютерная арифметика включает алгоритмы выполнения операций над числами с плавающей запятой, дробями и очень большими числами[39].

Измерение

Как и при счёте, первыми мерами длины у человека были пальцы рук. Затем расстояние стали мерять шагами, двойными шагами, милями (тысяча двойных шагов), стадиями. Кроме того, для измерения длины использовали локти, ладони, сажени, дюймы. В различных регионах устанавливались свои системы мер, которые редко были кратны десяти[42]. Многообразие мер, в частности, позволяло обойтись без использования дробей[43][44]. Торговая арифметика включала в себя умение оперировать величинами (денежными единицами, единицами мер и весов) в недесятичной системе счисления[45].

В конце XVIII века французским революционным правительством на основании временного — а затем и архивного (законом 10 декабря 1799 года) — метра была принята метрическая система мер(окончательно Франция перешла на неё с 1 января 1840 года). Вместе с метром был определён и килограмм. В основе метрической системы лежит десятичная система. Именно это обстоятельство позволило ей распростаниться почти на весь мир (исключение составляют Великобритания и США). По указу специального Международного бюро мер и весов, расположенного в Париже, в 1888 году из сплава платины и иридия был изготовлен международный метр и международный килограмм, — эталоны мер и весов. Помимо мер времени и угла, все остальные единицы мер также связаны с десятичной системой[46].

Исторический очерк

Древние математические тексты и системы счисления

Часть папируса Райнда

Египетские математические тексты особое внимание уделяли вычислениям и возникающим при этом трудностям, от которых во многом зависели методы решения задач. Математические папирусы Древнего Египта были составлены для учебных целей[47], они содержали задачи с решениями, вспомогательные таблицы и правила действий над целыми числами и дробями, встречаются арифметические и геометрические прогрессии, а также уравнения[4]. Египтяне пользовались десятичной системой счисления[48]. Египтяне знали такие арифметические операции как сложение, удвоение и дополнение дроби до единицы. Любое умножение на целое число и деление без остатка проводилось с помощью многократного повторения операции удвоения, что приводило к громоздким вычислениям, в которых участвовали определённые члены последовательности 1,2,4,8,16, ...[19]. В Египте нашли применение только аликвотные дроби, или доли единицы (1/n), а все остальные дроби разлагались на сумму аликвотных[49] При определении площади квадрата, объёма куба, или нахождении стороны квадрата по его площади египтятне сталкивались с возведением в степень и извлечением корня, хотя названия этим операциям ещё не было[19].

Вавилонские клинописные математические тексты использовали шестидесятеричную систему счисления, характерную ещё для шумеров[50], и представляли собой учебные пособия, которые включают таблицы умножения для чисел от 1 до 59, а также таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел натурального ряда, таблицы вычисления процентов, дроби с основанием 60[4][48]. При решении арифметических задач вавилоняне опирались на пропорции и прогрессии. Они знали формулу суммы n членов арифметической прогрессии, правила для суммирования геометрической прогрессии, решали задачи на проценты[51]. В Вавилоне знали множество пифагоровых троек, для поиска которых, вероятно, пользовались неизвестным общим приёмом. В целом, задача нахождения целых и рациональных решений уравнения x^2+y^2=z^2 относится к теории чисел[52]. Геометрические задачи привели к необходимости приближённого извлечения квадратных корней, которое они выполняли, используя правило \sqrt {a^2+r} \approx a + \frac {r}{2a} и итерационные методы для дальнейшего приближения результата[ком. 3].

Лист из «Арифметики» Диофанта (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение: x^3 \cdot 8 - x^2 \cdot 16 = x^3

Древнейшие греческие математические тексты относятся к XIV—VII веку до н. э.[54]. Первоначально греки пользовались аттической нумерацией, которую со временем заменила компактная буквенная, или ионическая[55]. Развитие древнегреческой арифметики принадлежит пифагорейской школе. Пифагорейцы полагали поначалу, что отношение любых двух отрезков можно выразить через отношение целых чисел, то есть геометрия представляла собой арифметику рациональных чисел. Они рассматривали только целые положительные числа и определяли число как собрание единиц. Изучая свойства чисел, они разбили их на чётные и нечётные (как признак делимости на два), простые и составные, нашли бесконечное множество пифагоровых троек[56]. В 399 году до н. э. появилась общая теория делимости, которая принадлежит, по-видимому, Теэтету, ученику Сократа. Евклид посвятил ей книгу VII и часть книги IX «Начал». В основе теории лежит алгоритм Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. Следствием алгоритма является возможность разложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения[57].

Вместе с тем, пифагорейцам принадлежит доказательство несоизмеримости диагонали и стороны единичного квадрата. Данное открытие означало, что отношений целых чисел недостаточно для выражения отношений любых отрезков и на этом основании невозможно строить метрическую геометрию[58]. Первое учение об иррациональностях принадлежит Теэтету. Алгоритм Евклида позволяет определить неполные частные разложения рационального числа в непрерывную дробь. Вместе с тем, понятие непрерывной дроби в Древней Греции не возникло[57]. В III веке Диофант начал построение алгебры с опорой не на геометрию, а на арифметику. Диофант также расширил числовую область на отрицательные числа[59].

Римская система нумерации была мало приспособлена для вычислений. Римские числовые знаки возникли до появления алфавита и не происходят от его букв. Считается, что первоначально числа от 1 до 9 обозначались соответственным числом вертикальных чёрточек, а их перечёркивание означало удесятерение числа (отсюда число X). Соответственно, чтобы получить число 100 палочку перечёркивали два раза. Впоследствии произошло упрощение системы[60]. В настоящее время она применяется в основном для обозначения порядковых чисел.

До XIV века математика Китая представляла собой набор вычислительных алгоритмов для решения на счётной доске[61]. Арифметические операции сложения и вычитания, производимые на счётной доске, не требовали дополнительных таблиц, для умножения же существовала таблица от 1 \times 1 до 9 \times 9. Действия умножения и деления производились начиная со старших разрядов, при этом промежуточные результаты удалялись с доски, что делало проверку невозможной. Поначалу умножение и деление были независимыми операциями, но затем Сунь-Цзы отметил их взаимную обратность[62]. В Китае умели решать задачи с помощью правила двух ложных положений[63], а для решения систем линейных уравнений были введены отрицательные числа. Поначалу они использовались только в процессе счёта и к концу вычислений удалялись с доски, затем китайские учёные стали толковать их как долг или недостачу[64].

Арифметика в Средневековье

Индийские цифры (I век н. э.) и соответствующие им современные цифры.

Позиционная система счисления (десять цифр, включая ноль) была введена в Индии. Она позволила разработать сравнительно простые правила выполнения арифметических операций[4]. Основными арифметическими действиями в Индии считались сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извлечение квадратных и кубических корней, для которых были разработаны правила. Вычисления проводились на счётной доске с песком или пылью или просто на земле и записывались палочкой[65]. Индийцы знали дроби и умели совершать операции над ними, пропорции, прогрессии[66]. Уже с VII века н. э. они пользовались отрицательными числами, интерпретируя их как долг, а также иррациональными числами[67].

Страница латинского перевода книги «Об индийском счёте»

В начале IX века Мухаммед ибн-Муса ал-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте». Учебник содержал решения практических задач «различного рода и сорта» и был первой книгой, написанной с использованием позиционной системы счисления. Цифры использовались для вычислений на счётной доске[68][69]. В XII веке Аделардом и Иоанном Севельским были сделаны два перевода книги на латинский язык[70]. Её оригинал не сохранился, но в 1857 году под названием «Алхорезми об индийском числе» был издан найденный латинский перевод[68]. В трактате описывается выполнение с помощью индийских цифр на счётной доске таких арифметических действий, как сложение, вычитание, удвоение, умножение, раздвоение, деление и извлечение квадратного корня[71]. Умножение дробей, как и деление, рассматривалось с помощью пропорций: a умножить на b было равносильно поиску такого q, что q:a=b:1. Данная теория являлась основой арабской арифметики. Однако при этом существовало и другое исчисление дробей, представлявшее любую дробь в виде суммы аликвотных дробей[72]. Для решения задач арабы пользовались тройным правилом, пришедшим из Индии и описанным наряду с рядом других приёмов в «Книге об индийских рашиках» аль-Бируни, правилом двух ложных положений, пришедшим из Китая и получившим теоретическое обоснование в «Книге о правиле двойного ложного положения» Куста ибн Лукка[73].

Через Испанию и Сицилию в X веке начали завязываться научные связи Европы с арабским миром. В это время Каталонию посетил учёных монах Герберт, ставший позднее папой Сильвестром II. Ему приписываются такие сочинения, как «Книжка о делении чисел» и «Правила счёта на абаке». В обеих книгах числа пишутся словами или римскими цифрами[74]. Герберт называл вычислителей на абаке «абацистами». В XII—XIII веках в Европе появились латинские переводы арабских книг по арифметике. Приверженцы представленной в книгах десятичной позиционной нумерации стали называться «алгористами» по имени арабского математика ал-Хорезми в латинской форме[75]. В начале XIII века в Западной Европе существовали две системы счисления: старая, основанная на абаке и поддерживаемая Гербертом, и новая, позиционная индийская система, поддерживаемая Леонардо Фибоначчи. Постепенно новая система взяла верх[70][76]. Основным её преимуществом является упрощение арифметических операций. Вместе с тем, в Германии, Франции и Англии новые цифры не употреблялись до конца XV века. Более полное вытеснение старой нумерации произошло только в XVI—XVII веках[76].

В 1427 году ал-Каши описал систему десятичных дробей, которая получила повсеместное распространение после сочинений Стевина в 1585 году[4]. Стевин хотел как можно шире распространить десятичную систему. Именно поэтому он написал свои сочинения на французском и фламандском, а не на латыни. Кроме того, он стал энергичным поборником введения десятичной системы мер[44].

Арифметика Нового времени

Арифметические таблицы. 1835

В XVII веке мореходная астрономия, механика, более сложные коммерческие расчёты поставили перед арифметикой новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию. Значительному изменению подверглось понятие числа. Если ранее к области чисел в большинстве своём относили только положительные рациональные числа, то начиная с XVI века всё более признавались иррациональные и отрицательные числа. Ньютон в своих лекциях делит числа на три вида: целые (измеряются единицей), дробные (кратные доли единицы) и иррациональные (несоизмеримые с единицей). С 1710 года такое определение числа прочно входит во все учебники[77].

В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы. Применение логарифмов и десятичных дробей, включение в арифметику понятия иррационального числа как последовательности рациональных приближений расширили область применения арифметики к концу XVII века и определили фундаментальное значение науки для изучения непрерывных величин[4].

С работами Лобачевского по геометрии связан процесс критического пересмотра основ математики, который случился в XIX веке. Ещё в XVIII веке начались попытки дать теоретические обоснования представлениям о числе. Лейбниц первый поставил задачу дедуктивного построения арифметики и, в частности, показал необходимость доказательства равенства «два плюс два равно четыре» в своих «Новых опытах о человеческом разуме» в 1705 году. В попытках решить этот вопрос свои аксиомы представили Вольф в 1770 году, Шульц в 1790 году, Ом в 1822 году, Грассман в 1861 году и, наконец, Пеано в 1889 году[78].

В 1758 году в «Первых основаниях арифметики, геометрии, плоской и сферической тригонометрии и перспективы» Кестнер выступил за обоснование всех арифметических понятий через целое число. Таким образом, он определил, в порядке следования в книге, натуральные числа, дроби, отрицательные числа, десятичные дроби, иррациональные числа и только затем теорию отношений[79]. В формировании теории отрицательных чисел основную проблему составляло утверждение, что отрицательное число меньше нуля, то есть меньше, чем ничего[80].

Полное геометрическое толкование комплексных чисел было предложено Каспаром Весселем в «Опыте об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников» в 1799 году. Вессель пытался обобщить теорию на трёхмерное пространство, но это ему не удалось. Вопрос оставался открытым до тех пор, пока Гамильтон не построил теорию кватернионов, при умножении которых не выполняется коммутативный закон. При этом исследования Вейерштрасса, Фробениуса и Пирса показали, что отказаться от какого-либо из арифметических законов придётся при любом расширении понятия числа за пределы комплексных чисел[81].

Арифметика в образовании

Образование арифметических понятий тесно связано с процессом счёта. В его основе лежат такие элементы мыслительной деятельности как умение узнавать предмет; различать предметы; разделять совокупность предметов на элементы, равноправные при счёте (иными словами, пользоваться единицей счёта); умение располагать элементы последовательно, упорядочивать их, что приводит к счёту различных по качеству предметов и образованию понятия числа. Подобные процессы можно наблюдать при усвоении понятий детьми[4]. Трудность изучения арифметики в школе заключается в том, что необходимо осуществить переход от конкретного мышления к абстрактному, осуществлять счёт отвлечённо от природы предметов[82].

Арифметика является четвёртым из семи свободных искусств по уровню обучения. Ей предшествует тривиум, состоящий из Грамматики, Риторики и Диалектики, а сама она является старшей наукой в квадривиуме, к которому также относятся Геометрия, Музыка и Астрономия[83]. Определяя значимость арифметики в образовании Боэций писал:

Итак, какую же из дисциплин нужно изучать первой, если не ту, что является началом и выполняет как бы роль матери по отношению к другим [дисциплинам]? Такова как раз арифметика. Она предшествует всем другим не только потому, что сам Бог, творец этого мироздания, взял её первой за образец своего мыслеполагания и по её [принципу] устроил всё, что через числа силой творящего Разума обрело гармонию в установленном порядке, но и потому арифметика объявляется предшествующей, что если устранить предшествующие по своей природе сущности, тотчас же устраняются и последующие. Если гибнут последующие, то ничего в статусе предыдущей субстанции не меняется.

— Основы арифметики I, 1

Долгое время обучение арифметическим действиям сводилось к механическому выполнению образцов. В Европе систематические упражнения на сложение, вычитание, умножение и деление были предложены Тарталья в XVI веке, но ещё долгое время не входили в обиход[84]. Кроме того, в средние века существовали правила для решения большого числа частных арифметических задач. В некоторых учебниках встречается до 26 таких правил, при этом они могут не совпадать от учебника к учебнику[85]. Некоторые правила не потеряли своей актуальности со временем. К ним относятся пропорции (дроби рассматривались как отношения двух чисел, что приводило к рассмотрению пропорций для совершения операций[86]).

В Древнем Китае большое внимание уделялось обучению математики, включая сдачу экзаменов. В Императорской академии математика изучалась семь лет. Однако классические математические трактаты рассматривались как догма и переиздавались без изменений[87]. С появлением первых европейских университетов математика преподавалась на факультетах искусства, как квадривиум, и была вспомогательной дисциплиной. Первые лекции по арифметике были прочитаны магистром Венского университета Иоганном из Гмундена в 1412 году[88].

Стандарты начального образования в России предполагают навыки счёта и сравнения чисел до миллиона, работу с основными единицами измерения и соотношениями между ними, выполнение четырёх основных арифметических операций (устно до 100 и письменно до 10 000), а также деления с остатком, поиск значения числового выражения, состоящего из нескольких арифметических действий[89][90]. Средняя школа оперирует рациональными и иррациональными числами (действительные и комплексные числа, а также алгоритм Евклида и основная теорема арифметики относятся к полному среднему образованию. Согласно Российскому Федеральному государственному образовательному стандарту «Содержание раздела „Арифметика“ служит базой для дальнейшего изучения учащимися математики, способствует развитию их логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни»[91].

В современном мире математическая грамотность является одной из основных целей образования. Она включает в себя, в частности, умение совершать арифметические действия, проводить подсчёты и измерения[92]. Вопросами математической грамотности детей и взрослых занимаются такие организации как ЮНИСЕФ и ЮНЕСКО[93][94].

Арифметика в философии и искусстве

Мартин де Вос. Семь сестёр. 1590

После того как пифагорейцы использовали отношения целых чисел для выражения геометрических отношений отрезков, а также аналогичных отношений в гармонии и музыке, они пришли к выводу, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел, а арифметика нужна для того чтобы выразить отношения и построить модель мира[95]. Вместе с тем, пифагорейцам принадлежит доказательство несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Данное открытие означало, что отношений целых чисел недостаточно для выражениях отношений любых отрезков и на этом основании невозможно строить метрическую геометрию[58]. Проблемы построения конечной меры и определения действительного числа обнажили научный кризис в V веке до н. э., выходом из которого занимались все философские школы Древней Греции. Показать все трудности, возникающие при решении этих проблем, удалось Зенону Элейскому в его парадоксах, или апориях[96].

Марциан Капелла в своём трактате «Свадьба Философии и Меркурия» создал визуальные образы всех семи искусств и в том числе Арифметики. Искусства олицетворяли женщины с соответствующими атрибутами, которые сопровождались известными представителями сферы. Арифметика держит в своих руках скрижаль, исписанную цифрами, или абак. Её сопровождает Пифагор[97].

В индийской книге Лилаватистара описываются состязания между женихами госпожи земли, прекрасной Гопы, в письменности, арифметике, борьбе и искусстве метания стрел. Испытаниям в арифметике посвящена значительная часть произведения[98].

Комментарии

  1. К операциям третьем ступени Арнольд относил также логарифмирование[9].
  2. Исторически сначала появились понятие дроби, а затем отрицательного числа. Такой же порядок принят в школьном курсе[15].
  3. Пусть необходимо найти корень из N=a^2+r, a — первое приближение с недостатком, b=N/a — приближение с избытком. Второе приближение образуется по формуле среднего арифметического a_1=(a+b)/2, и ему соответствует b_1=N/a_1, и так далее)[53].

Примечания

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 Виноградов И. М. Арифметика // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
  2. 1 2 3 4 Виноградов И. М. Арифметика формальная // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 Арифметика, наука // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Арифметика. Большая советская энциклопедия. Архивировано из первоисточника 3 ноября 2012. Проверено 20 октября 2012.
  5. Арнольд, 1938, с. 3—5
  6. 1 2 3 4 5 6 7 8 MacDuffee C. C. Arithmetic. Encyclopædia Britannica. Архивировано из первоисточника 28 мая 2012. Проверено 20 марта 2012. (англ.)
  7. Беллюстин В. Глава 12. Число и порядок действий, знаки и определения // Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. — М.: Типография К. Л. Меньшова, 1909.
  8. Депман, 1965, с. 195—199
  9. Арнольд, 1938, с. 151—156
  10. Арнольд, 1938, с. 140—143
  11. История математики, т. I, 1970, с. 12—13
  12. Депман, 1965, с. 21—25
  13. Депман, 1965, с. 129—130
  14. Арифметика, 1951, с. 157
  15. 1 2 3 Арифметика, 1951, с. 172—178
  16. Арифметика, 1951, с. 188—201
  17. Арифметика, 1951, с. 227
  18. Арифметика, 1951, с. 100—107
  19. 1 2 3 История математики, т. I, 1970, с. 23—24
  20. 1 2 3 Депман, 1965, с. 117—126
  21. 1 2 Арифметика, 1951, с. 135—138
  22. 1 2 3 4 Депман, 1965, с. 212—232
  23. 1 2 Арифметика, 1951, с. 139—142
  24. 1 2 3 4 Арифметика, 1951, с. 150—151
  25. 1 2 Арифметика, 1951, с. 172—179
  26. 1 2 Депман, 1965, с. 204
  27. Арифметика, 1951, с. 77—79
  28. Арифметика, 1951, с. 142
  29. 1 2 3 Виноградов И. М. Чисел теория // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 5.
  30. Виноградов И. М. Элементарная теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 5.
  31. Арнольд, 1938, с. 413—415
  32. Арифметика, 1951, с. 133
  33. 1 2 Арифметика, 1951, с. 160—167
  34. Депман, 1965, с. 258—262
  35. Арифметика, 1951, с. 188
  36. 1 2 Арифметика, 1951, с. 202
  37. Арифметика, 1951, с. 228
  38. 1 2 3 Формальная арифметика. Большая советская энциклопедия. Архивировано из первоисточника 3 ноября 2012. Проверено 20 октября 2012.
  39. 1 2 Кнут, с. 216
  40. История математики, т. II, 1970, с. 66—67
  41. История математики, т. III, 1972, с. 42—45
  42. Депман, 1965, с. 263—267
  43. Boyer & Merzbach, 2010, Arithmetic and logistic
  44. 1 2 Арифметика, 1951, с. 57—71
  45. Кнут, с. 216, 221
  46. Депман, 1965, с. 275—285
  47. История математики, т. I, 1970, с. 19—20
  48. 1 2 Депман, 1965, с. 49—52
  49. История математики, т. I, 1970, с. 25
  50. История математики, т. I, 1970, с. 34
  51. История математики, т. I, 1970, с. 40
  52. История математики, т. I, 1970, с. 50
  53. История математики, т. I, 1970, с. 46—47
  54. Депман, 1965, с. 53—54
  55. История математики, т. I, 1970, с. 62
  56. История математики, т. I, 1970, с. 68—69
  57. 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 74—76
  58. 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 73
  59. История математики, т. I, 1970, с. 144—146
  60. Депман, с. 57—58
  61. История математики, т. I, 1970, с. 178
  62. История математики, т. I, 1970, с. 160—161
  63. История математики, т. I, 1970, с. 163—164
  64. История математики, т. I, 1970, с. 167—169
  65. История математики, т. I, 1970, с. 183—185
  66. История математики, т. I, 1970, с. 185
  67. История математики, т. I, 1970, с. 190—191
  68. 1 2 Депман, 1965, с. 72—78
  69. История математики, т. I, 1970, с. 209—210
  70. 1 2 Депман, 1965, с. 90—94
  71. История математики, т. I, 1970, с. 211—212
  72. История математики, т. I, 1970, с. 212—214
  73. История математики, т. I, 1970, с. 218—219
  74. История математики, т. I, 1970, с. 254—256
  75. История математики, т. I, 1970, с. 256—257
  76. 1 2 Арифметика, 1951, с. 50—57
  77. История математики, т. II, 1970, с. 34—36
  78. История математики, т. III, 1972, с. 47—49
  79. История математики, т. III, 1972, с. 49—52
  80. История математики, т. III, 1972, с. 52—56
  81. История математики, т. III, 1972, с. 61—66
  82. Депман, 1965, с. 1—3, 103—109
  83. Liberal Arts. Encyclopædia Britannica. Архивировано из первоисточника 28 мая 2012. Проверено 20 марта 2012. (англ.)
  84. Депман, 1965, с. 199—203
  85. Депман, 1965, с. 305
  86. Депман, 1965, с. 306
  87. История математики, т. I, 1970, с. 157
  88. История математики, т. I, 1970, с. 259—260
  89. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа. Федеральный государственный образовательный стандарт. Архивировано из первоисточника 7 декабря 2012. Проверено 5 декабря 2012.
  90. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа / сост. Е. С. Савинов. — 4-е. — М.: Просвещение, 2013. — С. 32—35. — 223 с. — ISBN 9785090264167
  91. Примерные программы по учебным предметам. Математика. Федеральный государственный образовательный стандарт. Архивировано из первоисточника 7 декабря 2012. Проверено 5 декабря 2012.
  92. Грамотность, математические способности и навыки решения задач в технологически развитом обществе. Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики. Архивировано из первоисточника 7 декабря 2012. Проверено 5 декабря 2012.
  93. Defining Quality in Education  (англ.). ЮНИСЕФ. Проверено 5 декабря 2012.
  94. Education for All Goals  (англ.). ЮНЕСКО. Архивировано из первоисточника 7 декабря 2012. Проверено 5 декабря 2012.
  95. История математики, т. I, 1970, с. 67
  96. История математики, т. I, 1970, с. 88—89
  97. Семь свободных искусств. Simbolarium. Архивировано из первоисточника 28 мая 2012. Проверено 20 марта 2012.
  98. Арифметика, 1951, с. 49

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Арифметика" в других словарях:

  • АРИФМЕТИКА — (от греч. arithmos число, и toche искусство). Наука, имеющая своим предметом числа. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АРИФМЕТИКА от греч. arithmos, число, и techne, искусство. Наука о числах.… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • АРИФМЕТИКА — жен., греч. учение о счете, наука о счислении; основа всей математики (науки о величинах, о измеримом); ·стар. счетная или цифирная мудрость; счет, счисление, цифирная сметка, выкладка. Арифметичный, арифметический, к ней относящийся. Арифметик,… …   Толковый словарь Даля

  • арифметика — цифирное дело, цифирная наука, цифирь, подсчет Словарь русских синонимов. арифметика цифирь (устар.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 …   Словарь синонимов

  • Арифметика — (от греч. слов ariJmoV число и tecnh искусство) часть математики, которая занимается изучением свойств определенныхконкретных величин; в более тесном смысле А. есть наука о числах,выраженных цифрами, и занимается действиями над числами. А. можно… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • АРИФМЕТИКА — (от греческого arithmos число), часть математики, изучающая простейшие свойства целых и дробных чисел и действия над ними. Возникла в глубокой древности из практических потребностей счета, измерения расстояний, времени и др. Совершенствование… …   Современная энциклопедия

  • АРИФМЕТИКА — (от греч. arithmos число) часть математики; изучает простейшие свойства чисел, в первую очередь натуральных (целых положительных) и дробных, и действия над ними. Развитие арифметики привело к выделению из нее алгебры и чисел теории …   Большой Энциклопедический словарь

  • АРИФМЕТИКА — АРИФМЕТИКА, способ расчета при помощи сложения, вычитания, умножения и деления. Формальную аксиоматическую базу под эти операции подвел Джузеппе Пеано в конце XIX в. Исходя из некоторых постулатов, например, о том, что имеется лишь одно… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • АРИФМЕТИКА — АРИФМЕТИКА, арифметики, мн. нет, жен. (греч. arithmetike). Учение о числах, выражаемых цифрами, и действиях над ними. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • АРИФМЕТИКА — АРИФМЕТИКА, и, жен. 1. Раздел математики, изучающий простейшие свойства чисел, выраженных цифрами, и действия над ними. 2. перен. То же, что подсчет (во 2 знач.) (разг.). Проверили расходы неутешительная получилась а. | прил. арифметический, ая,… …   Толковый словарь Ожегова

  • арифметика — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN arithmetics …   Справочник технического переводчика

  • Арифметика — (от греческого arithmos число), часть математики, изучающая простейшие свойства целых и дробных чисел и действия над ними. Возникла в глубокой древности из практических потребностей счета, измерения расстояний, времени и др. Совершенствование… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

Книги

  • Арифметика, Киселев Андрей Петрович. В 2017 г. исполняется 165 лет со дня рождения А. П. Киселёва. Его первый школьный учебник по арифметике вышел в 1884 г. В 1938 г. он был утверждён в качестве учебника арифметикидля 5-6… Подробнее  Купить за 739 руб
  • Арифметика, Степанов В.. Простые и яркие образы в коротких стихах детского поэта Владимира Степанова надолго сохранятся в памяти маленьких учеников… Подробнее  Купить за 252 руб
  • Арифметика, Владимир Степанов. Эта книга с яркими иллюстрациями и забавными стишками превратит знакомство вашего малыша с арифметикой в увлекательную игру. Ведь здесь цифры удивительно оживаюти принимают знакомые образы, а… Подробнее  Купить за 210 руб
Другие книги по запросу «Арифметика» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»