Система счисления

Системы счисления в культуре
Индо-арабская система счисления
Арабская Индийские Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская
Восточноазиатские системы счисления
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные системы счисления
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая	Греческая Эфиопская Еврейская Катапаяди
Другие системы
Вавилонская Египетская Этруская Римская	Аттическая Кипу Майская
Позиционные системы счисления
Десятичная система счисления (10)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная система счисления
Симметричная система счисления
Смешанные системы счисления
Фибоначчиева система счисления
Непозиционные системы счисления
Единичная (унарная) система счисления
Список систем счисления

Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

• даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
• отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционные системы счисления

Основная статья: Позиционная система счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной системой счисления обычно понимается $b$-ричная система счисления, которая определяется целым числом $b>1$, называемым основанием системы счисления. Целое число без знака $x$ в $b$-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа $b$:

$x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k$, где $a_k$ — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству $0 \leq a_k \leq (b-1)$.

Каждая степень $b^k$ в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя $k$ (номером разряда). Обычно, в ненулевых числах $x$, левые нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число $x$ записывают в виде последовательности его $b$-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

$x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.$

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

$103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}.$

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

• 1 — единичная^[1] (счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);
• 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
• 3 — троичная;
• 8 — восьмеричная;
• 10 — десятичная (используется повсеместно);
• 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
• 13 — тринадцатеричная;
• 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);
• 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением $b$-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел $\{b_k\}_{k=0}^{\infty}$, и каждое число $x$ в ней представляется как линейная комбинация:

$x = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}b_k$, где на коэффициенты $a_{k}$, называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.

Записью числа $x$ в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса $k$, начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида $b_k$ как функции от $k$ смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда $b_k=b^k$ для некоторого $b$, смешанная система счисления совпадает с показательной $b$-ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина «$d$ дней, $h$ часов, $m$ минут, $s$ секунд» соответствует значению $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s$ секунд.

Факториальная система счисления

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов $b_k=k!$, и каждое натуральное число $x$ представляется в виде:

$x = \sum_{k=1}^n d_k k!$, где $0\leq d_k \leq k$.

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: число, на единицу меньшее номера (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе i! будет обозначать число инверсий для элемента i+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших i+1, но стоящих правее его в искомой перестановке)

Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 — (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 — (5,4,3,2,1)), найдём 101-ую перестановку: 100 = 4!*4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; положим ti — коэффициент при числе i!, тогда t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) — таким образом, 101-я перестановка будет иметь вид: (5,3,1,2,4) Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

Фибоначчиева система счисления

Основная статья: Фибоначчиева система счисления

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. Каждое натуральное число $n$ в ней представляется в виде:

$n = \sum_{k} f_k F_k$, где $F_k$ — числа Фибоначчи, $f_k\in\{0,1\}$, при этом в коэффициентах $f_k$ есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Биномиальная система счисления

Представление, использующее биномиальные коэффициенты

$x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}$, где $0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n$.

Система остаточных классов (СОК)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно простых модулей $(m_1, m_2, \dots, m_n)$ с произведением $M=m_1\cdot m_2\cdot \dots\cdot m_n$ так, что каждому целому числу $x$ из отрезка $[0,M-1]$ ставится в соответствие набор вычетов $(x_1, x_2, \dots, x_n)$, где

$x \equiv x_1 \pmod{m_1};$

$x \equiv x_2 \pmod{m_2};$

…

$x \equiv x_n \pmod{m_n}.$

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка $[0,M-1]$.

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в $[0,M-1]$.

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям $(m_1, m_1\cdot m_2, \dots, m_1\cdot m_2\cdot\dots\cdot m_{n-1})$.

Система счисления Штерна–Броко

Система счисления Штерна–Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна–Броко.

Системы счисления разных народов

Единичная система счисления

По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т.д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком - так возникают прообразы будущих цифр.

Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷ использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.^[2]

Вавилонская система счисления

Основная статья: Шестидесятеричная система счисления

Алфавитные системы счисления

Основная статья: Алфавитная запись чисел

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.^[2]

Еврейская система счисления

Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. т. ж. Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.

Греческая система счисления

Основная статья: Греческая система счисления

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Римская система счисления

Основная статья: Римские цифры

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V — 5,
X — 10,
L — 50,
C — 100,
D — 500,
M — 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Система счисления майя

Основная статья: Цифры майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Кипу инков

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы^[3], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования^[4]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных^[5]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись^[6].

См. также

• Алфавитная запись чисел
• Число
• Счёты

Примечания

1. ↑ Унарная система условно может рассматриваться как позиционная, хотя по сути таковой не является.
2. ↑ ^{1 2} Системы счисления. Как считали в Древней Руси. Алфавитные системы счисления.
3. ↑ Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
4. ↑ Experts 'decipher' Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
5. ↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus. - стр.49.
6. ↑ Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.

Ссылки

Имеется викиучебник по теме
«Система счисления»

• Гашков С. Б. Системы счисления и их применение. — М.: МЦНМО, 2004. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Фомин С. В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике).
• Яглом И. Системы счисления // Квант. — 1970. — № 6. — С. 2-10.
• Цифры и системы счисления. Онлайн Энциклопедия Кругосвет.
• Стахов А. Роль систем счисления в истории компьютеров.
• Микушин А. В. Системы счисления. Курс лекций "Цифровые устройства и микропроцессоры"
• Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems В статье рассмотрены системы счисления, использующие цифры больше единицы и допускающие избыточность в представлении чисел