Изоморфизм


Изоморфизм

Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Если между такими множествами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными», они называются изоморфными. Классическим примером изоморфных систем могут служить множество \mathbb R всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество \mathbb R_+ положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение x\mapsto \exp(x) в этом случае является изоморфизмом.

Содержание

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре изоморфизмом называется биекция, которая является гомоморфизмом. Ниже приводятся несколько примеров.

Группы

Пусть G и H — две группы. Биекция f:G\to H называется изоморфизмом, если для любых a,\;b\in G

f(a) f(b)=f(ab).

Если группа является топологической, добавляется условие гомеоморфности соответствующих топологических пространств.[1]

Поля

Пусть F_1 и F_2 — поля. Биекция f:F_1\to F_2 называется изоморфизмом, если для любых a,b\in F_1 выполняется

  1. f(a) + f(b)=f(a + b),
  2. f(a) \cdot f(b)= f(a\cdot b).

Теория категорий

В теории категорий изоморфизм есть обратимый морфизм, то есть морфизм \varphi, для которого существует такой морфизм \varphi^{-1}, что произведения \varphi^{-1}\circ\varphi и \varphi\circ\varphi^{-1} — тождественные морфизмы.

Теория операторов/Функциональный анализ

Ограниченный линейный оператор T между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число c такое, что \lVert Tx\rVert\geqslant c\lVert x\rVert для всех векторов x. Любой изоморфизм является взаимно-однозначным. Легко видеть, что T является изоморфизмом тогда и только тогда, когда T обратим на своем образе, и обратный оператор ограничен. Говорят, что два нормированных пространства являются изоморфными, если найдется сюръективный изоморфизм из одного из них на другое.

Теория графов

Граф G называется изоморфным графу H, если существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин графа H, обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе H должно быть ребро из вершины f(A) в вершину f(B) и наоборот — если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе G должно быть ребро из вершины f^{-1}(A) в вершину f^{-1}(B). В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

В теории вычислительной сложности до сих пор является открытым вопрос о сложности задачи изоморфности графов. На данный момент не доказана ни её принадлежность классу P, ни её NP-полнота.

Связанные определения

Изоморфизм алгебраической системы на себя называется автоморфизмом.

История

Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к группам и было естественным образом распространено на более широкий класс математических структур.

Вариации и обобщения

  • Некоторая общая теория, уточняющая понятия изоморфизма (и других близких понятий) была предложена группой Бурбаки в их книге "Теория множеств" ( Глава 4. Структуры).

См. также

Примечания

  1. Л.С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 392

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Изоморфизм" в других словарях:

  • изоморфизм — изоморфизм …   Орфографический словарь-справочник

  • ИЗОМОРФИЗМ — Свойство тел химически соединяемых между собою, без изменения кристаллической их формы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ИЗОМОРФИЗМ греч., от isos, одинаковый, равный, и morphe, вид. Свойство… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • ИЗОМОРФИЗМ — (от греч. isos – равный, однозначный и morphe – форма) понятие, выражающее тождественность, идентичность форм. В психологии идентичность (теоретическая) между гештальтами в переживании непосредственно созерцаемого и в процессах, совершающихся в… …   Философская энциклопедия

  • изоморфизм — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] изоморфизм Понятие математики и логики, означающее соотношение между двумя любыми объектами тождественной структуры. Между элементами изоморфных объектов существует взаимно… …   Справочник технического переводчика

  • ИЗОМОРФИЗМ — (от изо... и греч. morphe форма) понятие современной математики, уточняющее широко распространенное понятие аналогии, модели. Изоморфизм соответствие (отношение) между объектами, выражающее тождество их структуры (строения) …   Большой Энциклопедический словарь

  • ИЗОМОРФИЗМ — (от греч. isos равный, одинаковый и morphe форма, вид), полное подобие атомно крист. строения и внеш. огранки кристаллов у в в с одинаковой (по соотношению компонент) хим. ф лой и одинаковым типом хим. связи. Открыт в 1819 нем. химиком Э.… …   Физическая энциклопедия

  • изоморфизм — одинаковость, сходство Словарь русских синонимов. изоморфизм сущ., кол во синонимов: 2 • одинаковость (32) • …   Словарь синонимов

  • ИЗОМОРФИЗМ — [μορφη (морфэ) форма] по Митчерлиху (1819), способность кристаллических веществ, аналогичных по хим. сост. и кристаллической форме (структуре), давать смешанные кристаллы. По Менделееву (1937), сходство форм по причине… …   Геологическая энциклопедия

  • изоморфизм — а, м. isomorphisme m. < isos + morphe вид, форма. спец. Способность двух или нескольких веществ сходного химического состава кристаллизоваться в одинаковые формы. Обладать изоморфизмом. БАС 1. Изоморфный ая, ое. Известковый шпат и доломит… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Изоморфизм — [isomorphism] понятие математики и логики,  означающее  соотношение между двумя любыми объектами тождественной структуры. Между элементами изоморфных объектов существует взаимно однозначное отношение: каждому элементу (и отношению между ними)… …   Экономико-математический словарь

  • ИЗОМОРФИЗМ — (от греч. isos равный и morphe форма), заключается в том, что различные, близкие по своей хим.природе вещества кристаллизуются в одной и той же форме и способны выделяться из растворов в однородных кристаллах, содержащих самые разнообразные… …   Большая медицинская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Изоморфизм» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.