Натуральное число

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком $\mathbb{N}$. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Определение

Аксиомы Пеано

Основная статья: Аксиомы Пеано

Множество $\mathbb N$ будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент $1\in\mathbb N$ (единица) и функция $S\colon\mathbb N\to\mathbb N$ (функция следования) так, что выполнены следующие условия

1. $1\in\mathbb{N}$ ($1$ является натуральным числом);
2. Если $x\in\mathbb{N}$, то $S(x)\in\mathbb{N}$ (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
3. $\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)$ (1 не следует ни за каким натуральным числом);
4. Если $S(b)=a$ и $S(c)=a$, тогда $b=c$ (если натуральное число $a$ непосредственно следует как за числом $b$, так и за числом $c$, то $b=c$);
5. Аксиома индукции. Пусть $P(n)$ — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа $n$. Тогда:

если $P(1)$ и $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$, то $\forall n\;P(n)$

(Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ (база индукции) и для любого $n$ при допущении, что верно $P(n)$, верно и $P(n+1)$ (индукционное предположение), то $P(n)$ верно для любых натуральных $n$).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о «натуральном ряде».

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.^[1], а также краткое доказательство^[2]), что если $(\mathbb N, 1, S)$ и $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция $f\colon\mathbb N\to\tilde{\mathbb N}$ такая, что $f(1)=\tilde 1$ и $f(S(x))=\tilde S(f(x))$ для всех $x\in\mathbb N$.

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве $\mathbb N$ какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел, например, ту, что описана ниже.

Теоретико-множественное определение (Определение Фреге-Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• $0=\varnothing$
• $S(n)=n\cup\left\{n\right\}$

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

• $0=\varnothing$
• $1=\left\{0\right\}=\left\{\varnothing\right\}$
• $2=\left\{0,1\right\}=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}$
• $3=\left\{0,1,2\right\}=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}$

Ноль как натуральное число

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют $1$ на $0$. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций ноль, как и пустое множество, не является чем-то выделенным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом $\N$ образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел $0\notin\mathbb{N}$, а множество натуральных чисел с нулём обозначается как $\mathbb{N}_0$. Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как $\mathbb{N}$, а без нуля как $\mathbb{N}^*$.

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество $\{1,2,\dots\}$ обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают $\Z_+$. Множество $\{0,1,\dots\}$ зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают $\Z_{\geqslant 0}$.

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
• Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
• Возведение в степень $a^b$, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

• Вычитание. Уменьшаемое $-$ Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
• Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное $p$ и остаток $r$ от деления $a$ на $b$ определяются так: $a=p*b+r$, причём $0\leqslant r<b$. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе $a$ можно представить в виде $a=p*0+a$, то есть можно было бы считать частным $0$, а остатком = $a$.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

• $[A] + [B] = [A \sqcup B]$
• $[A] * [B] = [A \times B]$
• ${[A]}^{[B]} = [ A^B ]$

где $A \sqcup B$ — дизъюнктное объединение множеств, $A \times B$ — прямое произведение, $A ^ B$ — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

1. Коммутативность сложения. $\,\! a + b = b + a$
2. Коммутативность умножения. $\,\! ab = ba$
3. Ассоциативность сложения. $\,\! (a + b) + c = a + (b + c)$
4. Ассоциативность умножения. $\,\! (ab)c = a(bc)$
5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. $\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}$

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел $\mathbb Z$ и рациональных положительных чисел $\mathbb Q^*_+$ соответственно.

См. также

$1,\;2,\;\ldots$ Натуральные числа $0,\;1,\;-1,\;\ldots$ Целые числа $1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$ Рациональные числа $1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$ Вещественные числа $-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$ Комплексные числа
$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$	Кватернионы

• Отрицательное число
• Ноль
• Нумерология

Примечания

1. ↑ Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
2. ↑ Доказательство единственности натуральных чисел. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 4 февраля 2011.