Натуральное число


Натуральное число
Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком \mathbb{N}. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Содержание

Определение

Аксиомы Пеано

Множество \mathbb N будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент  1\in\mathbb N (единица) и функция S\colon\mathbb N\to\mathbb N (функция следования) так, что выполнены следующие условия

  1. 1\in\mathbb{N} (1 является натуральным числом);
  2. Если x\in\mathbb{N}, то S(x)\in\mathbb{N} (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1) (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если S(b)=a и S(c)=a, тогда b=c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b=c);
  5. Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:
если P(1) и \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n))), то \forall n\;P(n)
(Если некоторое высказывание P верно для n=1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n+1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о «натуральном ряде».

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство[2]), что если (\mathbb N, 1, S) и (\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S) — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция f\colon\mathbb N\to\tilde{\mathbb N} такая, что f(1)=\tilde 1 и f(S(x))=\tilde S(f(x)) для всех x\in\mathbb N.

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве \mathbb N какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел, например, ту, что описана ниже.

Теоретико-множественное определение (Определение Фреге-Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • 0=\varnothing
  • S(n)=n\cup\left\{n\right\}

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

  • 0=\varnothing
  • 1=\left\{0\right\}=\left\{\varnothing\right\}
  • 2=\left\{0,1\right\}=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}
  • 3=\left\{0,1,2\right\}=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}

Ноль как натуральное число

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют 1 на 0. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций ноль, как и пустое множество, не является чем-то выделенным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом \N образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел 0\notin\mathbb{N}, а множество натуральных чисел с нулём обозначается как \mathbb{N}_0. Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как \mathbb{N}, а без нуля как \mathbb{N}^*.

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество \{1,2,\dots\} обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают \Z_+. Множество \{0,1,\dots\} зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают \Z_{\geqslant 0}.

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
  • Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
  • Возведение в степень a^b, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

  • Вычитание. Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
  • Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*b+r, причём 0\leqslant r<b. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a=p*0+a, то есть можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

  • [A] + [B] = [A \sqcup B]
  • [A] * [B] = [A \times B]
  • {[A]}^{[B]} = [ A^B ]

где A \sqcup B — дизъюнктное объединение множеств, A \times B — прямое произведение, A ^ B — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

  1. Коммутативность сложения. \,\! a + b = b + a
  2. Коммутативность умножения. \,\! ab = ba
  3. Ассоциативность сложения. \,\! (a + b) + c = a + (b + c)
  4. Ассоциативность умножения. \,\! (ab)c = a(bc)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. \,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел \mathbb Z и рациональных положительных чисел \mathbb Q^*_+ соответственно.

См. также

1,\;2,\;\ldots Натуральные числа
0,\;1,\;-1,\;\ldots Целые числа
1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots Рациональные числа
1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots Вещественные числа
-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots Комплексные числа
1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots Кватернионы

Примечания

  1. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
  2. Доказательство единственности натуральных чисел. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 4 февраля 2011.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Натуральное число" в других словарях:

  • НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО — НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО, см. число НАТУРАЛЬНОЕ …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО — всякое целое положительное число, т.е. любое число натурального (см.). Количество натуральных чисел бесконечно …   Большая политехническая энциклопедия

  • НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО — НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО, целое положительное число: 1, 2, 3... Понятие натурального числа возникло в результате счета предметов …   Современная энциклопедия

  • Натуральное число — НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО, целое положительное число: 1, 2, 3... Понятие натурального числа возникло в результате счета предметов.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • натуральное число — ▲ целое число ↑ выражающий, действительный, численность натуральное число неотрицательное целое число; выражает число отдельных целых объектов в какой л. совокупности; обозначают количество реальных целых объектов; выражение численности. четверка …   Идеографический словарь русского языка

  • НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО — одно из основных понятий математики. Н. ч. может быть истолковано как кардинальное число непустого конечного множества. Множество N ={1, 2, ...} всех Н. ч. и операции над ними: сложение (+) и умножение (Х) образуют систему Н. ч. <N, +, Х,… …   Математическая энциклопедия

  • число — сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах   математика 1. Числом… …   Толковый словарь Дмитриева

  • ЧИСЛО — абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… …   Философская энциклопедия

  • ЧИСЛО — ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… …   Толковый словарь Ожегова

  • число натурального ряда — натуральное число — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы натуральное число EN natural number …   Справочник технического переводчика

Книги

Другие книги по запросу «Натуральное число» >>