- Комбинаторика
-
Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.
Содержание
Примеры комбинаторных конфигураций и задач
Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:
- Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
- Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
- Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
- Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
- Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.
Примерами комбинаторных задач являются:
- Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам так, чтобы выполнялись заданные ограничения?
- Сколько существует функций из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?
- Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?
- Ответ: 52! (52 факториал), то есть, 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8,0658 × 1067.
- При игре в кости бросаются две кости, и выпавшие очки складываются; сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?
- Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.
Разделы комбинаторики
Перечислительная комбинаторика
Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.
Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.
Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок. Другой пример — известная Задача о письмах.
Структурная комбинаторика
К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.
Экстремальная комбинаторика
Примером этого раздела может служить следующая задача: какова наибольшая размерность графа, удовлетворяющего определённым свойствам.
Теория Рамсея
Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:
- в группе из 6 человек всегда можно найти трёх человек, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.
В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:
- в любом графе с 6 вершинами найдётся либо клика, либо независимое множество размера 3.
Вероятностная комбинаторика
Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.
Топологическая комбинаторика
Топологическая комбинаторика (англ.) применяет идеи и методы комбинаторики в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.
Инфинитарная комбинаторика
Инфинитарная комбинаторика (англ.) — применение идей и методов комбинаторики к бесконечным (в том числе, несчётным) множествам.
Открытые проблемы
Комбинаторика, и в частности, теория Рамсея, содержит много известных открытых проблем, подчас с весьма несложной формулировкой. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, либо попарно знакомых друг с другом, либо попарно незнакомых (хотя известно, что 49 человек достаточно).[1]
Исторический очерк
См. также
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Числа Рамсея (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Литература
- Андерсон Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8
- Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
- Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c.
- Липский В. Комбинаторика для программиста. — М.: Мир, 1988. — 213 с.
- Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика. — пер. с англ. — М., 1966.
- Райгородский А. М. Линейно-алгебраические и вероятностные методы в комбинаторике. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2006.
- Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980. — 476 с.
- Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — пер. с англ. — М., 1963.
- Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2
- Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции = Enumerative Combinatorics. Volume 2. — М.: «Мир», 2009. — С. 767. — ISBN 978-5-03-003476-8
Ссылки
- Теория вероятностей. 3. Элементы комбинаторики
- Белешко Д. Комбинаторика. 2004.
Категория:- Комбинаторика
Wikimedia Foundation. 2010.