- Теория категорий
-
Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла применения в информатике[2], логике [3] и в теоретической физике[4][5][уточнить]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры немыслимо без применения теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell[6].
Содержание
Определение
Категория — это:
- класс объектов ;
- для каждой пары объектов A,B задано множество морфизмов (или стрелок) , причём каждому морфизму соответствует единственные A и B;
- для пары морфизмов и определена композиция ;
- для каждого объекта задан тождественный морфизм ;
причём выполняются две аксиомы:
- операция композиции ассоциативна: и
- тождественный морфизм действует тривиально: для
- Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру[7].
Примеры категорий
- Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
- Group — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру.
- VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
- Категория модулей.
Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.
- Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
- Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
Коммутативные диаграммы
Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:
Двойственность
Для категории можно определить двойственную категорию , в которой:
- объекты совпадают с объектами исходной категории;
- морфизмы получаются «обращением стрелок»:
Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).
Основные определения и свойства
Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм
Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм , что и . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.
Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом .
Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов по композиции.
Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм
Мономорфизм — это морфизм такой, что для любых из следует, что . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.
Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых из следует .
Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.
Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.
Инициальный и терминальный объекты
Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.
Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.
Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.
- Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество , терминальным — множество из одного элемента .
- Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.
Произведение и сумма объектов
Произведение (пары) объектов A и B — это объект с морфизмами и такими, что для любого объекта с морфизмами и существует единственный морфизм такой, что диаграмма справа коммутативна. Морфизмы и называются проекциями.
Дуально определяется прямая сумма или копроизведение объектов и . Соответствующие морфизмы и называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.
Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
- Пример: В категории Set прямое произведение A и B — это произведение в смысле теории множеств , а прямая сумма — дизъюнктное объединение .
- Пример: В категории Ring прямая сумма — это тензорное произведение , а прямое произведение — сумма колец .
- Пример: В категории VectK (конечные) прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств .
Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов . Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения являются произвольные бесконечные последовательности элементов , в то время как элементами бесконечного копроизведения являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.
Функторы
Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,
(Ковариантный) функтор ставит в соответствие каждому объекту категории объект категории и каждому морфизму морфизм так, что
- и
- .
Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из в , то есть «функтор, переворачивающий стрелки».
Некоторые типы категорий
- Моноидальные категории
- Абелевы категории
- Топосы
См. также
Ссылки
- ↑ Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
- ↑ D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — 1988. — XIII, 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
- ↑ Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
- ↑ Нужна ли физикам теория категорий?. Оригинал http://arxiv.org/abs/0808.1032
- ↑ Топосы для физики. (англ.)
- ↑ Category theory in Haskell (англ.). Архивировано из первоисточника 24 августа 2011. Проверено 13 марта 2011.
- ↑ J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.
Литература
- С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
- С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
- Букур [Bucur I.] Деляну[Deleanu A.] Введение в теорию категорий и функторов. — том 19 серии Pure & applied mathematics — a series of texts & monographs — 1972 [1968].
- Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
- Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
- Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
- Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
- Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.
Портал «Наука» Элементарная алгебра • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра) • Абстрактная алгебра Абстрактная алгебра Коммутативная алгебра • Теория представлений • Дифференциальная алгебра • Гомологическая алгебра • Универсальная алгебра • Теория категорий Геометрия Алгебраическая геометрия • Аналитическая геометрия • Евклидова геометрия • Неевклидова геометрия • Планиметрия • Стереометрия • Тригонометрия Топология Общая топология • Алгебраическая топология Смежные
направленияДифференциальная геометрия и топология • Геометрическая топология Портал «Математика» | Категория «Математика» Категория:- Теория категорий
Wikimedia Foundation. 2010.