Десятичная система счисления


Десятичная система счисления
Системы счисления в культуре
Индо-арабская система счисления
Арабская
Индийские
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаоская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские системы счисления
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные системы счисления
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Катапаяди
Другие системы
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Аттическая
Кипу
Майская
Позиционные системы счисления
Десятичная система счисления (10)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная система счисления
Симметричная система счисления
Смешанные системы счисления
Фибоначчиева система счисления
Непозиционные системы счисления
Единичная (унарная) система счисления
Список систем счисления

Десяти́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Содержание

Определение

Один десятичный разряд в десятичной системе счисления иногда называют декадой. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

Целое число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10:

x = \pm \sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k, где \ a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0 \leq a_k \le 9.

Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра a_{n-1} в десятичном представлении x была также ненулевой.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

 103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}.

С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до 10^n-1, то есть, всего 10^n различных чисел.

Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью:

a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k 10^k,

где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

Двоично-десятичное кодирование

В двоичных компьютерах применяют двоично-десятичное кодирование десятичных цифр (Binary-Coded Decimal), при этом для одной двоично-десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда (двоичная тетрада). Двоично-десятичные числа требуют большего количества битов для своего хранения[1]. Так, четыре двоичных разряда имеют 16 состояний, и при двоично-десятичном кодировании 6 из 16 состояний двоичной тетрады не используются[2].

Таблица сложения в десятичной системе счисления

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Таблица умножения в десятичной системе

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

История

Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в древнем Египте. В другой великой цивилизации — вавилонской — за две тысячи лет до н. э. внутри шестидесятеричных разрядов использовалась позиционная десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр[3].

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название — «арабская» (арабские цифры).

Кипу инков

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы[4], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования[5]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных[6]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись[7].

См. также

Ссылки

  1. «AS-Level Computing» 5th edition — P. M. (Pat M.) Heathcote, S. Langfield — 2004—224 pages — Page 18: «A disadvantage of using BSD is that more bits are required to store a number than when using pure binary.» [1] ISBN 1-904467-71-7
  2. Schaum’s outline of theory and problems of essential computer mathematics By Seymour Lipschutz, McGraw-Hill. 1987. «Remark: Any 4-bit code allows 2^4 = 16 combinations. Because the 4-bit BCD codes need only 10 of the combinations … 6 combinations remains available» [2] ISBN 0-07-037990-4
  3. Знакомство с системами счисления
  4. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
  5. Experts 'decipher' Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
  6. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus. - стр.49.
  7. Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research 12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Десятичная система счисления" в других словарях:

  • Десятичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 10, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам …   Финансовый словарь

  • ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — позиционная система счисления с основанием, равным 10. Числа в Д. с. с. записывают с помощью всего десяти цифр (знаков): 0, 1,2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, называемых арабскими (см.), с помощью которых можно записать любое сколь угодно малое или сколь… …   Большая политехническая энциклопедия

  • ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором один и тот же знак (цифра) из десяти: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Десять единиц 1 го разряда (места,… …   Современная энциклопедия

  • ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — см. Счисление …   Большой Энциклопедический словарь

  • Десятичная система счисления — ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором один и тот же знак (цифра) из десяти: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Десять единиц 1 го разряда (места,… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • десятичная система счисления — см. Счисление. * * * ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, см. Счисление (см. СЧИСЛЕНИЕ) …   Энциклопедический словарь

  • десятичная система счисления — ▲ система счисления десятичные разряды (степени 10 и): 1 десять. десяток. 2 сто. сотня. сотый. сотенный. полтораста. 3 тысяча. тысячный (# отряд). трехтысячный. 6 миллион. 9 миллиард, биллион. 12 триллион. 15 квадриллион. 18 квинтиллион. 21… …   Идеографический словарь русского языка

  • ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — позиционная система счисления с основанием, равным 10. Современная Д. с. с. возникла на основе нумерации, зародившейся около 5 в. н. э. в Индии. Система получила название арабской, т. к. в Европе с ней впервые познакомились по латинским переводам …   Математическая энциклопедия

  • Десятичная система счисления —         наиболее распространённая система счисления (См. Счисление). Основанием Д. с. с. является число 10, которое образует единицу 2 го разряда, единицей 3 го разряда будет 100 = 102, вообще единица каждого следующего разряда в 10 раз больше… …   Большая советская энциклопедия

  • ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — наиболее распространённая система счисления, имеющая основанием число 10. В Д. с. с. используются десять различных цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9. Число 10 считается единицей 2 го разряда и потому записывается двумя цифрами. Единица каждого… …   Большой энциклопедический политехнический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.