Комплексное число


Комплексное число

Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (устар. Мнимые числа[2]), — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается \mathbb{C}. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Содержание

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z^2+1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел \R, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z^2+1.

Стандартная модель

Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

  • (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');
  • (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида (x,\;0), причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой 0=(0,\;0), единица — 1=(1,\;0), а мнимая единица — i=(0,\;1). На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен (-1,\;0), то есть -1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

\begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix}

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},

мнимой единице —

\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.

Замечания

Ошибочно определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению  x^2=-1 , так как число (-i) также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение \sqrt{-1}, ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде 5+\sqrt{-3} считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как 5+i\sqrt{3}. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{(-3) \cdot (-3)} = \sqrt{9}= 3,

в то время как правильная запись приводит к иному ответу:

\left(i\sqrt{3}\right) \cdot \left(i\sqrt{3}\right) = i \cdot i \cdot \sqrt{9} = -3.

Действия над комплексными числами

  • Сравнение
    a+bi=c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
  • Сложение
    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
  • Вычитание
    (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
  • Умножение
    (a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
  • Деление
    \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу ~z=x+iy сопоставим точку плоскости с координатами \{x,y\} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Связанные определения

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Пусть ~z=x+iy — комплексное число, где ~x и ~y — вещественные числа. Числа x = \Re(z) или \operatorname{Re} ~z и y = \Im(z) или \operatorname{Im} ~z называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями z.

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается |z| и определяется выражением |z| = \sqrt{x^2+y^2}. Часто обозначается буквами ~r или ~\rho. Если z является вещественным числом, то |z| совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} имеют место следующие свойства модуля. :

1)  | z | \geqslant 0 \,, причём  | z | = 0 \, тогда и только тогда, когда  z = 0 \,;;
2)  | z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \, (неравенство треугольника);
3)  | z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,;
4)  | z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,.

Из третьего свойства следует |a\cdot z| = |a|\cdot |z|, где a\in \mathbb{R}. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем \mathbb{R}.

5) Для пары комплексных чисел z_1 и z_2 модуль их разности |z_1-z_2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол \varphi (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается ~\operatorname{Arg} (z).

  • Из этого определения следует, что \operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x} ; \cos \varphi = \frac {x} {|z|}; \sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~.
  • Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2 k \pi, где k — любое целое число.
  • Главным значением аргумента называется такое значение \varphi, что -\pi<\varphi\leqslant\pi. Часто главное значение обозначается ~\operatorname{arg} (z)[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: ~\operatorname{arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{arg}(z).

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z=x+iy, то число \bar z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z^*). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

  • \bar{\bar{z}} = z (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
  • z\cdot \bar z=|z|^2.
  • \overline{z_1\pm z_2}=\bar{z}_1\pm\bar{z}_2.
  • \overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2.
  • \overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2.

Обобщение: \overline{p(z)}=p(\bar z), где p(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

  • |\bar{z}|=|z|
  • \mathrm{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\mathrm{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа \mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2.

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x+iy, x,\;y\in\R, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i^2=-1):

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d);
(a+ib)\cdot(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| и аргумент \varphi (x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z=re^{i\varphi},

где e^{i\varphi} — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

\cos\varphi=\frac{(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2};\quad\sin\varphi=\frac{(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})}{2i}.

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

z^n=[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),

где r — модуль, а \varphi — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}=[r(\cos(\varphi+2\pi k)+i\sin(\varphi+2\pi k))]^{1/n}=
=r^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),
n>1, k=0,\;1,\;\ldots,\;n-1.

Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса \sqrt[n]{r} с центром в начале координат (см. рисунок).

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида a+b\sqrt{-1}, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVIXVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».[5]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ i=\sqrt{-1} предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Вариации и обобщения

Функции комплексного переменного

См. также

Примечания

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
    В следующих источниках указан единственный вариант ударения (на второй слог) для чисел.
    • Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка (6-е издание, 2009), Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (2-е издание, 2004).
  2. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  3. В теории электрических цепей, символ \scriptstyle{i} иногда заменяют на \scriptstyle{j}, чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока (\scriptstyle{i}).
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 14-15.
  5. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 139.

Литература

Ссылки

1,\;2,\;\ldots Натуральные числа
0,\;1,\;-1,\;\ldots Целые числа
1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots Рациональные числа
1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots Вещественные числа
-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots Комплексные числа
1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots Кватернионы


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Комплексное число" в других словарях:

  • КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — число вида x + iy, где х и y действительные числа, а i т. н. мнимая единица (число, квадрат которого равен ?1); х называется действительной частью, а y мнимой частью комплексного числа. Действительные числа частный случай комплексных чисел (при y …   Большой Энциклопедический словарь

  • КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — КОМПЛЕКСНОЕ число, число вида x+iy, где x и y действительные числа, а i мнимая единица (число, квадрат которого равен 1). Действительные числа частный случай комплексного числа (при y=0). Комплексные числа, не являющиеся действительными (yь0),… …   Современная энциклопедия

  • КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — число вида х + iу, где х и у дсйствит. числа, a i т. н. мнимая единица (число, квадрат к рого равен 1); х наз. дсйствит. частью, а у мнимой частью К. ч. Действит. числа частный случай К. ч. (при у = 0). К. ч., не являющиеся действительными (y… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • комплексное число — ▲ число комплексное число. мнимое число результат извлечения корня. тензор (# инерции. # диэлектрической проницаемости). тензорный. спинор. | гиперкомплексные числа. кватернион. ↓ вектор …   Идеографический словарь русского языка

  • КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — (complex number) Число, имеющее действительную и мнимую части, например (а+ib), где а и b – действительные числа, а i – квадратный корень из –1. Сумма, разница, произведение и частное любой пары комплексных чисел сами являются комплексными… …   Экономический словарь

  • комплексное число — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN complex number …   Справочник технического переводчика

  • комплексное число — число вида х + iy, где х и у  действительные числа, а i  так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен –1); х называется действительной частью, а у  мнимой частью комплексного числа. Действительные числа  частный случай… …   Энциклопедический словарь

  • КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — число вида z=x+iy, где хи у действительные числа, а так наз. мнимая единица, т. е. число, квадрат к рого равен 1 (в технической литературе применяется также обозначение ); хназ. действительной, или вещественной, частью К. ч. z, а у его мнимой… …   Математическая энциклопедия

  • Комплексное (комплексное) число — КОМПЛЕКС, а, м. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • ЧИСЛО КОМПЛЕКСНОЕ — ЧИСЛО, КОМПЛЕКСНОЕ, число вида z = а + bi, где i = Ц 1, а и b действительные числа (см. число ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ); а называется действительной частью комплексного числа, b мнимой частью. Все комплексные числа могут быть представлены на диаграмме… …   Научно-технический энциклопедический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.