Последовательность

Последовательность

Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

  • для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Содержание

Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы. | Всякое отображение f\colon\mathbb{N}\to X множества натуральных чисел \mathbb{N} в заданное множество X называется последовательностью (элементов множества X).

Образ натурального числа n, а именно, элемент x_n=f(n), называется n-ым членом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности — её индексом.

Связанные определения

  • Подмножество f\left[\mathbb{N}\right] множества X, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.
  • Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

  • Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность! Например, точка a\in X как одноточечное подмножество \{a\}\subset X является носителем стационарной последовательности вида a,a,a,\dots.
  • Любое отображение множества \mathbb{N} в себя также является последовательностью.

Обозначения

Последовательности вида

x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

(x_n) или (x_n)_{n=1}^{\infty}

иногда используются фигурные скобки:

\{x_n\}_{n=1}^{\infty}

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

(x_n)_{n=1}^N,

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Нужен реферат?
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "Последовательность" в других словарях:

  • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… …   История слов

  • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… …   Толковый словарь Ушакова

  • последовательность — постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… …   Словарь синонимов

  • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} …   Современная энциклопедия

  • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} …   Большой Энциклопедический словарь

  • Последовательность — ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… …   Энциклопедия социологии

  • Последовательность — [sequ­en­ce] «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами …   Экономико-математический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»