- Непрерывная дробь
-
Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида
где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.
Содержание
Разложение в цепную дробь
Любое вещественное число
может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью
, где
где
обозначает целую часть числа
.
Для рационального числа
это разложение оборвётся по достижении нулевого
для некоторого n. В этом случае
представляется конечной цепной дробью
.
Для иррационального
все величины
будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае
представляется бесконечной цепной дробью
.
Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.
Подходящие дроби
n-ой подходящей дробью для цепной дроби
, называется конечная цепная дробь
, значение которой равно некоторому рациональному числу
. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен
. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен
.
Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:
Таким образом, величины
и
представляются значениями континуант:
Последовательности
и
являются возрастающими.
Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:
((1)) которое можно переписать в виде
Откуда следует, что
Приближение вещественных чисел рациональными
Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число
разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству
Отсюда, в частности, следует:
- подходящая дробь
является наилучшим приближением для
среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит
;
- мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.
Примеры
- Разложим число
=3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:
- 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …
- Вторая подходящая дробь 22/7 — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь 355/113 была впервые получена в Древнем Китае.
- В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для
. Третья подходящая дробь 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[1].
Свойства и примеры
- Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:
- Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
- Например:
- Для алгебраических чисел степени большей 2 характер разложений в непрерывную дробь неизвестен. Например, даже для
неизвестно, конечно ли количество различных чисел в его разложении (последовательность A002945 в OEIS).
- Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, для основания натурального логарифма:
-
- для числа
- Теорема Гаусса — Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
- Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа
в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие
, то говорят, что число
относится к классу
Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса
и в виде произведения двух чисел из класса
[3] В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы 3 чисел из класса
и в виде суммы 4 чисел из класса
Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.[4][5]
Приложения цепных дробей
Теория календаря
При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:
Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.
Решение сравнений первой степени
Рассмотрим сравнение:
, где
известны, причём можно считать, что
взаимно просто с
. Надо найти
.
Разложим
в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь
. Подставим в формулу (1):
Отсюда вытекает:
, или:
Вывод: класс вычетов
является решением исходного сравнения.
Другие приложения
- Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана
- Решение в целых числах уравнения Пелля[6]:
и других уравнений диофантова анализа
- Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
- Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC.
- Характеристика ортогональных многочленов
- Характеристика стабильных многочленов
Свойства золотого сечения
Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что φ является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Теорема Гурвица[7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n так, что
Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для φ (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно
от φ, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + bφ)/(c + dφ), где a, b, c и d являются целыми числами, причём ad − bc = ±1, обладают тем же свойством, как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.
Историческая справка
Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение
— это 12-я подходящая дробь для
или
от 4-й подходящей дроби для
.
В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа
(355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).
Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.
Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.
В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.
См. также
Ссылки
- В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
- Н. М. Бескин Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
- Н. М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
- Д. И. Боднар Ветвящиеся цепные дроби. — К.: Наука, 1986. — 174 с.
- А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
- И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
- С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
- И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.
- Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М.: Наука, 1965.
- С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
- В. Я. Скоробогатько. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 312 с.
- А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.
Примечания
- ↑ Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — 20 с.
- ↑ последовательность A001203 в OEIS
- ↑ M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
- ↑ B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
- ↑ T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
- ↑ Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
- ↑ Hardy G. H. Theorem 193 // An Introduction to the Theory of Numbers. — Fifth. — Oxford, 1979.
Категории:- Теория чисел
- Цепные дроби
Wikimedia Foundation. 2010.