Объём (геометрия)

Объём (геометрия)

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Содержание

Подходы к определению

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий, понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Понятие объёма допускает естественное обобщения до понятия n-мерного объёма в n-мерном пространстве, также на случай римановых и псевдоримановых пространств произвольной размерности.

Объёмы простейших тел

Фигура Формула Обозначения
Куб c^3 c — ребро куба
Призма Sh S — площадь основания, h — высота призмы
Цилиндр \pi r^2h r — радиус, h — высота цилиндра
Шар \frac{4}{3}\pi r^3 r — радиус
Эллипсоид \frac{4}{3}\pi abc a,\;b,\;c — главные оси
Пирамида \frac{1}{3}Ah A — площадь основания, h — высота пирамиды
Конус \frac{1}{3}\pi r^2h r — радиус основания, h — высота конуса

Архимед сумел установить, что сфера и конусы с общей вершиной, вписанные в цилиндр, соотносятся следующим образом: два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр. [1]

Интегральная формула

Объём тела в трехмерном пространстве вычисляется как определённый интеграл:

V = \iiint\limits_{\R^3}\chi(x,y,z)dxdydz,

где \chi(x, y, z) — характеристическая функция геометрического образа тела.

Литература

  • Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф., Основные математические формулы. Справочник/Под ред. Богданова Ю. С. Изд. второе, перераб. и доп. Минск, «Вышэйшая школа», 1988
  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с.

Примечания

  1. [100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум]

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Объём (геометрия)" в других словарях:

  • Объём (значения) — Объём вообще величина, количество[1] Объём количественная характеристика пространства В математике: Объём (геометрия) Мера Жордана Мера Лебега Ориентированный объём Смешанный объём Объём торгов число акций, переходящее от продавцов к покупателям… …   Википедия

  • Объём — У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения). Объём Размерность L3 Единицы измерения СИ …   Википедия

  • Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю)         раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.          Происхождение термина «Г. , что… …   Большая советская энциклопедия

  • Геометрия — (от др. греч. γῆ  Земля и μετρέω  «мерю»)  раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения[1]. Содержание …   Википедия

  • геометрия — и; ж. [греч. gē Земля и metreō измеряю]. Раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения. // Учебный предмет, излагающий этот раздел математики. Урок геометрии. Преподаватель геометрии. // Разг. Учебник по этому предмету. * * *… …   Энциклопедический словарь

  • Объём жёсткого диска — Динамика роста ёмкости жёстких дисков с 1980 года. Ось Y в логарифмическом масштабе, поэтому аппроксимирующая линия соответствует …   Википедия

  • ГЕОМЕТРИЯ — (от гео... и ...метрия), раздел математики, в к ром изучаются пространств, отношения (напр., взаимное расположение) и формы (напр., геом. тела) и их обобщения. Возникновение Г. относится к глубокой древности и обусловлено практич. потребностями… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Геометрия — (гр. Земля измеряю) раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения и формы и их обобщения. Возникновение геометрии обусловлено практическими потребностями измерения земельных участков, объёмов и др. Строгое построение геометрии …   Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов

  • Тело (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Тело. Тело геометрическое  «то, что имеет длину, ширину и глубину» в «Началах» Евклида, в учебниках элементарной геометрии ко всему «часть пространства, ограниченное своей образуемой формой» …   Википедия

  • Объем (геометрия) — Объём это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении трёхмерных тел трёхмерного евклидова пространства.… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Объём (геометрия)» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»