Общая топология


Общая топология

Общая топология, или теоретико-множественная топология — раздел топологии, в котором изучаются понятия «непрерывности» и «предела» в наиболее общем смысле.

Содержание

Область изучения

Традиционный подход к общей топологии — теоретико-множественный. Множество называется топологическим пространством, когда задано определённое семейство его открытых подмножеств, удовлетворяющее аксиомам. Возможно много способов задания структуры топологического пространства на одном множестве: от дискретной до нехаусдорфовой «антидискретной (=тривиальной) топологии», склеивающей все точки вместе.

Базовые понятия теории множеств (множество, функция, ординальные числа и кардинальные числа, аксиома выбора, лемма Цорна и т.д.) не являются предметом общей топологии, но активно ею используются. Общая топология включает в себя следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображаениями, классификация топологических пространств.

В отличие от дифференциальной и алгебраической топологии, общая топология сосредоточена на изучении наиболее общего вида непрерывных отображений (топологических пространств друг в друга, а не в пространства, наделённые более сложными структурами: алгебраическими и т.п.). Язык общей топологии включает такие понятия как окрестности, замыкания множеств (а также внутренности), компактность множеств, сходимость последовательностей и фильтров.

Общая топология включает в себя теорию размерности.

История

Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX в. Основополагающие работы принадлежат Ф. Хаусдорфу, А. Пуанкаре, П. С. Александрову, П. С. Урысону, Л. Брауэру. В частности, была решена одна из главных задач общей топологии — нахождение необходимых и достаточных условий метризуемости топологического пространства.

Наиболее бурное развитие общей топологии как самостоятельной ветви знания происходило в середине ХХ в., в начале же XXI в. она скорее является вспомогательной дисциплиной, "обслуживающей" своим понятийным аппаратом многие области математики: топологию, функциональный анализ, комплексный анализ, теорию графов и т.д..

См. также

Замечания

  • Понятие предела функции, вводимое в общей топологии, допускает дальнейшее обобщение в рамках теории псевдотопологических пространств.

Литература

  • П. С. Александров, В. В. Федорчук, В. И. Зайцев Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии
  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию — М.: Наука, 1977
  • Архангельский А. В., Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях — М.: Наука, 1974
  • Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968
  • Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
  • Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. Учебник в задачах (рус., англ.)

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Общая топология" в других словарях:

  • ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ — ветвь геометрии, посвященная исследованию непрерывности и предельного перехода на том естественном уровне общности, к рый определяется природой этих понятий. Исходными понятиями О. т. являются понятия топологического пространства и непрерывного… …   Математическая энциклопедия

  • Общая алгебра — (также абстрактная алгебра, высшая алгебра)  раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также… …   Википедия

  • Топология — Не следует путать с топографией. У этого термина существуют и другие значения, см. Топология (значения). Лента Мёбиуса  поверхно …   Википедия

  • Топология — (от греч. tоpos место и …логия (См. ...Логия)         часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных… …   Большая советская энциклопедия

  • Топология Зарисского — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Топология Зарисского в алгебраической геометрии  специальная топология, отражающая алгебраическую при …   Википедия

  • ТОПОЛОГИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация это деформация фигуры, при которой не… …   Энциклопедия Кольера

  • Общая точка (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Общая точка. Общая точка  точка топологического пространства, замыкание которой совпадает со всем пространством. Топологическое пространство, имеющее общую точку, является неприводимым… …   Википедия

  • топология — Физическое или логическое распределение узлов сети. Физическая топология определяет физические связи (каналы) между узлами. Логическая топология описывает возможные соединения между сетевыми узлами. В локальных сетях наиболее распространены три… …   Справочник технического переводчика

  • ТОПОЛОГИЯ — в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… …   Физическая энциклопедия

  • Общая теория систем — (теория систем)  научная и методологическая концепция исследования объектов, представляющих собой системы. Она тесно связана с системным подходом и является конкретизацией его принципов и методов. Первый вариант общей теории систем был… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Общая топология» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.