Целое число

Множество целых чисел — $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$, определяется как замыкание множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (−). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3…), чисел вида $-n \;(n\in\mathbb{N})$ и числа ноль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500). Обозначение множества, $\mathbb{Z}$, происходит от немецкого слова Zahlen — «числа».

Алгебраические свойства

$\mathbb{Z}$ не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a, b и c.

	сложение	умножение
замкнутость:	a + b   — целое	a × b   — целое
ассоциативность:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
коммутативность:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
существование нейтрального элемента:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
существование противоположного элемента:	a + (−a)  =  0	a  ≠  ±1  ⇒  1/a не является целым
дистрибутивность умножения относительно сложения:	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

На языке абстрактной алгебры первые пять вышеперечисленных свойств сложения говорят о том, что $\mathbb{Z}$ является абелевой группой относительно бинарной операции сложения, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент $\mathbb{Z}$ может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + … 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, $\mathbb{Z}$ является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе $(\mathbb{Z},+)$.

Первые четыре свойства умножения говорят о том, что $\mathbb{Z}$ — коммутативный моноид по умножению. Однако стоит заметить, что не каждое целое имеет противоположное по умножению, например, нет такого x из $\mathbb{Z}$, что 2x = 1, так как левая часть уравнения чётна, а правая нечётна. Из этого следует, что $\mathbb{Z}$ не является группой по умножению, а также не является полем. Наименьшее поле, содержащее целые числа, — множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$).

Совокупность всех свойств таблицы означает, что $\mathbb{Z}$ является коммутативным кольцом с единицей относительно сложения и умножения.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, $b \not= 0$, существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и $0 \le r < |b|$, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Теоретико-множественные свойства

$\mathbb{Z}$ — линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задаётся соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

1. если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
2. если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

Целые числа в вычислительной технике

Тип целое число — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса $\mathbb{Z}$ в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

См. также

$1,\;2,\;\ldots$ Натуральные числа $0,\;1,\;-1,\;\ldots$ Целые числа $1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$ Рациональные числа $1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$ Вещественные числа $-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$ Комплексные числа
$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$	Кватернионы

• Число