Целое число


Целое число

Множество целых чисел — \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}, определяется как замыкание множества натуральных чисел \mathbb{N} относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (−). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3…), чисел вида -n \;(n\in\mathbb{N}) и числа ноль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (14871567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (14451500). Обозначение множества, \mathbb{Z}, происходит от немецкого слова Zahlen — «числа».

Содержание

Алгебраические свойства

\mathbb{Z} не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a, b и c.

сложение умножение
замкнутость: a + b   — целое a × b   — целое
ассоциативность: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
коммутативность: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
существование нейтрального элемента: a + 0  =  a a × 1  =  a
существование противоположного элемента: a + (−a)  =  0 a  ≠  ±1  ⇒  1/a не является целым
дистрибутивность умножения относительно сложения: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

На языке абстрактной алгебры первые пять вышеперечисленных свойств сложения говорят о том, что \mathbb{Z} является абелевой группой относительно бинарной операции сложения, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент \mathbb{Z} может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + … 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, \mathbb{Z} является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе (\mathbb{Z},+).

Первые четыре свойства умножения говорят о том, что \mathbb{Z} — коммутативный моноид по умножению. Однако стоит заметить, что не каждое целое имеет противоположное по умножению, например, нет такого x из \mathbb{Z}, что 2x = 1, так как левая часть уравнения чётна, а правая нечётна. Из этого следует, что \mathbb{Z} не является группой по умножению, а также не является полем. Наименьшее поле, содержащее целые числа, — множество рациональных чисел (\mathbb{Q}).

Совокупность всех свойств таблицы означает, что \mathbb{Z} является коммутативным кольцом с единицей относительно сложения и умножения.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, b \not= 0, существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и 0 \le r < |b|, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Теоретико-множественные свойства

\mathbb{Z} — линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задаётся соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

  1. если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
  2. если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

Целые числа в вычислительной технике

Тип целое число — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса \mathbb{Z} в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

См. также

1,\;2,\;\ldots Натуральные числа
0,\;1,\;-1,\;\ldots Целые числа
1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots Рациональные числа
1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots Вещественные числа
-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots Комплексные числа
1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots Кватернионы

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Целое число" в других словарях:

  • ЦЕЛОЕ ЧИСЛО — ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, см. ЧИСЛО ЦЕЛОЕ …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ЦЕЛОЕ ЧИСЛО — (integer) Целое число. Огромное множество экономических переменных, например количество фирм в отрасли, которые могут принимать только целочисленные значения; это называется ограничением по целым числам. Экономисты часто просто игнорируют его и… …   Экономический словарь

  • целое число — ▲ число ↑ отдельный, объект целое число число, получаемое сложением и вычитанием единиц; характеристика групп одинаковых элементов. численность. номер. ▼ натуральное число …   Идеографический словарь русского языка

  • ЦЕЛОЕ ЧИСЛО — одно из совокупности чисел 0, ?1, ?2 …   Большой Энциклопедический словарь

  • Целое число — ЕЛЫЙ, ая, ое; цел, цела, цело. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • целое число — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики информационные технологии в целом EN INTinteger …   Справочник технического переводчика

  • целое число — одно из совокупности чисел 0, ±1, ±2, ... * * * ЦЕЛОЕ ЧИСЛО ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, одно из совокупности чисел 0, ±1, ±2 …   Энциклопедический словарь

  • Целое число —         см. Число …   Большая советская энциклопедия

  • ЦЕЛОЕ ЧИСЛО — см. Число …   Математическая энциклопедия

  • ЦЕЛОЕ ЧИСЛО — одно из совокупности чисел О, ±1, ±2 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Целое число» >>