Основная теорема арифметики

Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает:

Каждое натуральное число $n>1$ можно представить в виде $n=p_1\cdot\dots\cdot p_k$, где $p_1,\dots,p_k$ — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число $n$ единственным образом представимо в виде

$n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \dots \cdot p_k^{d_k},$ где $p_1 < p_2 < \dots < p_k$ — простые числа, и $d_1,\dots,d_k$ — некоторые натуральные числа.

Такое представление числа $n$ называется его каноническим разложением на простые сомножители.

Следствия

• Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на лемму Евклида:

Если простое число $p$ делит без остатка произведение двух целых чисел $x \cdot y$, то $p$ делит $x$ или $y$.

Существование. Пусть $n$ — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если $n$ составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, $n$ тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть $n$ — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть $p$ — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если $p$ входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на $p$ и получить два разных разложения числа $n/p$, что невозможно. А если $p$ не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на $p$, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

История

В "Началах" Евклида теорема не встречается, однако уже в книге VII появляются предложения, которые ей эквивалентны. Нет точной формулировки и в книге "Введение в теорию чисел" Лежандра, написанной в 1798 году. Первая её точная формулировка и доказательство приводятся в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования», изданной в 1801 году. Почти во всех школьных учебниках доказательство этой теоремы не приводится, вероятно, из-за отсутствия её в работах Евклида.

См. также

• Алгоритм Евклида

Ссылки

• Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 3. — С. 112–117.
• Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
• И. М. Виноградов. Основы теории чисел.
• Р. Курант, Г. Роббинс. Дополнение к главе I, § 4.2 // Что такое математика?
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 57-63. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Видео доказательство основной теоремы арифметики