Индекс ветвления

Индекс ветвления

Кривая Урысона (далее кривая) — наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом:

Кривой называется связное компактное топологическое пространство C топологической размерности 1.

Определение кривой Урысона является внутренним: оно характеризуется лишь свойствами самого пространства C и не зависит от того, рассматривается ли это пространство само по себе или как подмножество другого топологического пространства.

Существуют кривые, которые не гомеоморфны никакому подмножеству плоскости. Такова, например, кривая, лежащая в трёхмерном пространстве и состоящая из шести рёбер тетраэдра и четырёх отрезков, соединяющих центр тетраэдра с его вершинами. Но всякая кривая гомеоморфна некоторому подмножеству трёхмерного евклидова пространства (теорема Менгера). Более того, существует кривая M, обладающая тем свойством, что, какова бы ни была кривая C, в M найдется подмножество C', гомеоморфное C. Это трёхмерный аналог ковра Серпинского, называемый губкой Менгера.

Содержание

Индекс ветвления

В исследовании кривых важную роль играет понятие индекса ветвления. Кривая C в точке x имеет индекс ветвления α, если α есть минимальное кардинальное число такое, что для любой окрестности x существует меньшая окрестность, граница которой есть множество мощности, не превосходящей α. Точка кривой C, индекс ветвления которой больше двух, называется точкой ветвления; точка, индекс ветвления которой равен единице, называется концевой точкой.

Точки кривой относительно их индекса ветвления классифицируются следующим образом.

  1. Точки с индексом ветвления n, где nнатуральное число.
  2. Точки неограниченного индекса ветвления. (Точка x кривой C имеет неограниченный индекс ветвления, если для любой окрестности x, существует меньшая окрестность, граница которой состоит из конечного множества точек; но при этом индекс ветвления бесконечен.)
  3. Точки счётного индекса ветвления.
  4. Точки континуального индекса ветвления.

Примеры

  1. Отрезок во всех своих внутренних точках имеет индекс ветвления, равный двум; индекс ветвления концов отрезка равен единице.
  2. Окружность в каждой своей точке имеет индекс ветвления два.
  3. Кривая, состоящая из n прямолинейных отрезков, исходящих из одной точки O, имеет в точке O индекс ветвления n.
  4. Кривая, состоящая из отрезков OA_1, OA_2,\dots,OA_n,\dots выходящих из начала координат O, имеющих длины 1,1/2,\dots,1/n,\dots и исходящие из O под углами 1,1/2,\dots,1/n,\dots к оси OX имеет неограниченный индекс ветвления в O
    • Если при этом сделать все отрезки равной длины, то O будет иметь счетный индекс ветвления.
  5. Кривая, состоящая из отрезков, соединяющих точку O со всеми точками канторова множества, лежащего на другом отрезке, имеет во всех своих точках континуальный индекс ветвления с.
  6. Ковер Серпинского также имеет во всех своих точках континуальный индекс ветвления.
  7. Салфетка Серпинского представляет пример кривой состоящий только из точек с индексом ветвления 2, 3 и 4.
    • При этом индекс ветвления 2 имеют только вершины основного треугольника. В частности если склеить две салфетки Серпинского по вершинам основного треугольника получим кривую с индексами ветвления 3 и 4.

Свойства

  • Если у кривой совсем нет точек ветвления, то есть если в каждой точке кривой индекс ветвления равен 1 или 2, то эта кривая есть либо простая дуга ― топологический образ отрезка, либо простая замкнутая линия ― топологический образ окружности.
    • При этом, если индекс ветвления кривой во всех точках равен 2, то это ― простая замкнутая кривая, если же у кривой, не имеющей точек ветвления, есть концевые точки (при этом оказывается, что их непременно две), то она будет простой дугой.
  • Если кривая имеет лишь конечное число точек ветвления, причем индекс ветвления каждой из них также конечен, то такая кривая может быть разбита на конечное число простых дуг, не имеющих попарно никаких других общих точек, кроме своих концов.
  • Окружность является единственной кривой, все точки которой имеют один и тот же конечный индекс ветвления 2; других кривых, имеющих во всех точках один и тот же конечный индекс ветвления, нет. Более того,
    • Если все точки кривой L имеют индекс ветвления больший или равный n, то на L найдется точка, индекс ветвления которой больше или равен 2n − 2, и при всяком натуральном n существует кривая, состоящая только из точек, имеющих индекс ветвления n и 2n − 2 (теорема Урысона).

Литература

  • Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики, т. 2, — М.― Л., 1951;

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Индекс ветвления" в других словарях:

  • ВЕТВЛЕНИЯ ИНДЕКС — сумма порядков вет вления точек компактной римановой поверхности S, рассматриваемой как и листная поверхность наложения над римановой сферой, распространенная на все конечные и бесконечно удаленные точки ветвления S. В. и. связан с родом gи… …   Математическая энциклопедия

  • Оператор ветвления — (условная инструкция, условный оператор)  оператор, конструкция языка программирования, обеспечивающая выполнение определённой команды (набора команд) только при условии истинности некоторого логического выражения, либо выполнение одной из… …   Википедия

  • ЛИНИЯ — кривая, геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение к рого представляет значитю трудности и осуществляется в разных разделах геометрии различно. В рамках элементарной геометрии понятие Л. не получает отчетливой… …   Математическая энциклопедия

  • Кривая Урысона — (далее кривая)  наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом: Кривой называется связное… …   Википедия

  • КАНТОРОВА КРИВАЯ — метризуемый одномерный континуум. Первоначально К. к. наз. плоский нигде не плотный континуум, и это была первая (хотя и не внутренняя) характеристика одномерных замкнутых связных подмножеств плоскости, рассмотренная Г. Кантором (G. Cantor). К. к …   Математическая энциклопедия

  • ПРОСТАЯ ДУГА — гомеоморфный образ отрезка. Внутренняя характеристика: П …   Математическая энциклопедия

  • HLSL — (англ. High Level Shader Language) C подобный язык высокого уровня для программирования шейдеров. Был создан корпорацией Microsoft и включён в пакет DirectX 9.0 Содержание 1 Типы данных 1.1 скалярные типы …   Википедия

  • КРУГОВОЕ ПОЛЕ — поле деления круг а, поле получающееся присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня из единицы степени га, где п некоторое натуральное число. Иногда (локальным) круговым полем наз. также поле вида где поле рациональных р… …   Математическая энциклопедия

  • ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНОЕ ТЕЛО — множество К, наделенное алгебраич. структурой тела и локально контактной топологией. При этом требуется, чтобы алгобраич. операции, т. е. сложение, умножение, переход к противоположному и обратному элементам (последний определен только на… …   Математическая энциклопедия

  • СЕРПИНЬСКОГО КРИВАЯ — ковер Серпиньского, пример канторовой кривой, содержащей подмножество, гомеоморфное любой наперед заданной канторовой кривой. Построена В. Серпиньским [1], конструкцию см. в ст. Линия. Эта кривая в каждой точке имеет континуальный индекс… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»