Счётное множество


Счётное множество

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция X\leftrightarrow \mathbb{N} , где {\mathbb N} обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом \alef_0 (произносится: "алеф-нуль").

Содержание

Свойства

  1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).[1]
  2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[1]
  3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
  4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
  5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры

Счётные множества

  • Простые числа
  • Натуральные числа
  • Целые числа
  • Рациональные числа
  • Алгебраические числа
  • Кольцо периодов
  • Вычислимые числа
  • Арифметические числа
  • Множество всех конечных слов над конечным или счётным алфавитом
  • Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси
  • Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами
  • Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны

Несчётные множества

Примечания

  1. 1 2 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62 — 63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Счётное множество" в других словарях:

  • Несчётное множество — В теории множеств счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных… …   Википедия

  • несчётное множество — понятие теории множеств; бесконечное множество, мощность которого больше, чем мощность счётного множества. Например, множество всех действительных чисел  несчётное множество. * * * НЕСЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО НЕСЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО, понятие теории множеств; …   Энциклопедический словарь

  • счётное множество — понятие теории множеств, бесконечное множество, элементы которого возможно занумеровать натуральными числами. Множество всех рациональных чисел и даже множество всех алгебраических чисел счётны, однако множество всех действительных чисел несчётно …   Энциклопедический словарь

  • Счётное множество —         бесконечное множество, элементы которого можно занумеровать натуральными числами, то есть установить Взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Как доказал Г. Кантор, множество всех… …   Большая советская энциклопедия

  • СЧЁТНОЕ МНОЖЕСТВО — понятие теории множеств, бесконечное множество, элементы к рого возможно занумеровать натуральными числами. Множество всех рациональных чисел и далее множество всех алгебр. чисел счётны, однако множество всех действит. чисел несчётно …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Множество Витали — Множество Витали  первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, опубликовал в 1905 году итальянский математик Дж. Витали в своей статье «Sul problema della misura dei gruppi di punti… …   Википедия

  • МНОЖЕСТВО — набор, совокупность, собрание к. л. объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристич. свойством. Понятие M. принадлежит к числу первоначальных матем. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так,… …   Физическая энциклопедия

  • Множество второй категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Множество первой категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • множество — а; ср. 1. Очень большое количество, число кого , чего л. М. народа. М. фактов. Вырастить м. цветов. Доказательства представлены во множестве. Великое м. примеров (очень много). 2. Матем. Совокупность элементов, объединённых по какому л. признаку …   Энциклопедический словарь

Книги

  • Кулинарное путешествие по СССР, Мироненко О., Ивашкова Т.. Книга, которую вы держите в руках, это своего рода путешествие - кулинарное путешествие в прошлое нашей страны. В конце XIX в. богатый самобытный ассортимент и изысканный вкус блюд русской… Подробнее  Купить за 915 руб
  • Сделано в СССР, . &# 171;Кулинарное путешествие по СССР&# 187;. Книга, которую вы держите в руках, это своего рода путешествие – кулинарное путешествие в прошлое нашей страны. В конце XIX в. богатый самобытный… Подробнее  Купить за 663 руб
  • Кулинарное путешествие по СССР, Олег Мироненко. Книга, которую вы держите в руках, это своего рода путешествие – кулинарное путешествие в прошлое нашей страны. В конце XIX в. богатый самобытный ассортимент и изысканный вкус блюд русской… Подробнее  Купить за 299 руб электронная книга
Другие книги по запросу «Счётное множество» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.