Кардинальное число

Эта статья — о математическом термине. О других значениях см. Кардинал (значения).

Алеф-ноль, наименьший бесконечный кардинал.

Кардина́льным число́м или коротко кардина́лом в теории множеств называется объект, который характеризует мощность множества. Кардинальное число какого-либо множества A обозначается как |A|, либо Card A.

Для конечного множества A кардинальное число |A| есть натуральное число, которое означает количество элементов этого множества. Для бесконечных множеств кардинальное число является обобщением понятия числа элементов.

Хотя кардинальные числа бесконечных множеств не имеют отражения в натуральных числах, но их можно сравнивать. Пусть A и B — бесконечные множества, тогда логически возможны следующие четыре случая:

1. Существует взаимно-однозначное соответствие между A и B, т.е. A ~ B и |A|=|B|.
2. Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством A и некоторым собственным подмножеством B' множества B. Тогда говорят, что мощность множества A не больше мощности множества B и записывают |A|≤|B|.
3. Множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, и наоборот, множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то есть A~B' ⊆ B и B~A' ⊆ A. По теореме Кантора-Бернштейна в этом случае выполняется A ~ B, то есть |A|=|B|.
4. Не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством A и любым подмножеством множества B и, также не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством B и любым подмножеством множества A. Из этого следует, что мощности множеств A и B несопоставимы между собой.

Однако более глубокие исследования в теории множеств показали, что, опираясь на аксиому выбора, можно доказать невозможность существования четвёртого случая.

Таким образом, мощности любых двух множеств A и B всегда сопоставимы между собой. То есть для кардинальных чисел |A| и |B| произвольных множеств A и B выполняется одно из трёх соотношений: |A|=|B|, |A|≤|B| или |B|≤|A|. Если |A|≤|B|, но множество A неравномощно множеству B, то тогда |A|<|B|.

Числа алеф

Кардинальное число множества N всех натуральных чисел (а значит и любого счётного множества) обозначают через $\aleph_0$ (читается «алеф-ноль»). Кардинальное число континуальных множеств обозначают c или $\aleph_1$ («алеф-один»). Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначают $\aleph_2, \aleph_3,\dots$ Кантор доказал, что не существует множества наибольшей мощности, то есть не существует наибольшего кардинального числа.

Гипотеза континуума

Континуум-гипотеза утверждает, что не существует множества, кардинальное число которого $\aleph$ расположено между кардинальным числом множества натуральных чисел $\aleph_0$ и кардинальным числом множества действительных чисел $\aleph_1$, то есть $\aleph_0$ < $\aleph$ < $\aleph_1$.

См. также

• Мощность множества
• Порядковое число
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум-гипотеза

Ссылки

• Hans Hahn, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Weisstein, Eric W. Cardinal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Cardinality at ProvenMath formal proofs of the basic theorems on cardinality.
• Undergraduate Set Theory more proofs about cardinality - includes proof of infinite cardinal addition in Section 4.2.