Кардинальное число

Кардинальное число
Алеф-ноль, наименьший бесконечный кардинал.

Кардина́льным число́м или коротко кардина́лом в теории множеств называется объект, который характеризует мощность множества. Кардинальное число какого-либо множества A обозначается как |A|, либо Card A.

Для конечного множества A кардинальное число |A| есть натуральное число, которое означает количество элементов этого множества. Для бесконечных множеств кардинальное число является обобщением понятия числа элементов.

Хотя кардинальные числа бесконечных множеств не имеют отражения в натуральных числах, но их можно сравнивать. Пусть A и B — бесконечные множества, тогда логически возможны следующие четыре случая:

  1. Существует взаимно-однозначное соответствие между A и B, т.е. A ~ B и |A|=|B|.
  2. Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством A и некоторым собственным подмножеством B' множества B. Тогда говорят, что мощность множества A не больше мощности множества B и записывают |A|≤|B|.
  3. Множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, и наоборот, множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то есть A~B'B и B~A'A. По теореме Кантора-Бернштейна в этом случае выполняется A ~ B, то есть |A|=|B|.
  4. Не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством A и любым подмножеством множества B и, также не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством B и любым подмножеством множества A. Из этого следует, что мощности множеств A и B несопоставимы между собой.

Однако более глубокие исследования в теории множеств показали, что, опираясь на аксиому выбора, можно доказать невозможность существования четвёртого случая.

Таким образом, мощности любых двух множеств A и B всегда сопоставимы между собой. То есть для кардинальных чисел |A| и |B| произвольных множеств A и B выполняется одно из трёх соотношений: |A|=|B|, |A|≤|B| или |B|≤|A|. Если |A|≤|B|, но множество A неравномощно множеству B, то тогда |A|<|B|.

Содержание

Числа алеф

Кардинальное число множества N всех натуральных чисел (а значит и любого счётного множества) обозначают через \aleph_0 (читается «алеф-ноль»). Кардинальное число континуальных множеств обозначают c или \aleph_1 («алеф-один»). Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначают \aleph_2, \aleph_3,\dots Кантор доказал, что не существует множества наибольшей мощности, то есть не существует наибольшего кардинального числа.

Гипотеза континуума

Континуум-гипотеза утверждает, что не существует множества, кардинальное число которого \aleph расположено между кардинальным числом множества натуральных чисел \aleph_0 и кардинальным числом множества действительных чисел \aleph_1, то есть \aleph_0 < \aleph < \aleph_1.

См. также

Ссылки

  • Hans Hahn, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Weisstein, Eric W. Cardinal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Cardinality at ProvenMath formal proofs of the basic theorems on cardinality.
  • Undergraduate Set Theory more proofs about cardinality - includes proof of infinite cardinal addition in Section 4.2.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Кардинальное число" в других словарях:

  • кардинальное число — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN cardinal number …   Справочник технического переводчика

  • Кардинальное число —    характеристика множества, позволяющая сравнивать множества по мощности , число элементов множества, например, кардинальное число множества действительных чисел больше кардинального числа множества натуральных чисел, так как между этими… …   Мир Лема - словарь и путеводитель

  • Кардинальное число — (от лат. cardinalis главный)         иначе количественное число, или мощность; см. Число, Множеств теория …   Большая советская энциклопедия

  • КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — трансфинитное число, мощность по Кантору, кардинал множества A, такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, равномощному А. При этом два множества Аи Вназ. равномощными, если существует взаимно однозначная функция f : с… …   Математическая энциклопедия

  • ∞ (число) — ∞ Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. Финитизм отрицает понятие Бесконечность. Бесконечность в большинстве… …   Википедия

  • Порядковое число — Порядковое число, ординал (лат. ordinalis порядковый) или трансфинитное число (лат. trans за, через + finitio край, предел) в теории множеств  некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые… …   Википедия

  • Количественное число — (матем.)         (иначе кардинальное число, или мощность), понятие множеств теории (См. Множеств теория). См. также Число …   Большая советская энциклопедия

  • ТРАНСФИНИТНОЕ ЧИСЛО — порядковый тип бесконечного вполне упорядоченного множества. См. также Порядковое число, Кардинальное число …   Математическая энциклопедия

  • НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО — одно из основных понятий математики. Н. ч. может быть истолковано как кардинальное число непустого конечного множества. Множество N ={1, 2, ...} всех Н. ч. и операции над ними: сложение (+) и умножение (Х) образуют систему Н. ч. <N, +, Х,… …   Математическая энциклопедия

  • МОЩНОСТЬ — кардинальное число, множества А такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, эквивалентному А. При этом два множества наз. эквивалентными (или равно мощным и), если между ними возможно установить взаимно однозначное… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»