Мощность множества


Мощность множества

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinaliscardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

  1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
  2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.
  3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества A обозначается через |A|. Сам Кантор использовал обозначение \overline{\overline{A}}. Иногда встречаются обозначения \# A и \mathrm{card}(A).

Содержание

Определение

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Комментарий

Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является множеством.

Связанные определения

  • Мощность множества натуральных чисел {\mathbb N} обозначается символом \aleph_0алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность \geqslant\aleph_0 (не меньше мощности множества натуральных чисел), таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются \aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.
  • Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: «равенство», «больше», «меньше». То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:
    1. |A|=|B|, или A и B равномощны;
    2. |A|>|B|, или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;
    3. |A|<|B|, или B мощнее A — в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.
    • Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).
    • Ситуация, в которой |A|>|B| и |A|<|B|, невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Примеры

  • Множество называется конечным, если оно равномощно отрезку натурального ряда I_n = \{1,2,...,n\} при некотором неотрицательном целом n. Число n выражает количество элементов конечного множества. При n=0 множество не содержит элементов (пустое множество). Если n<m, то не существует инъективного отображения из I_m в I_n (принцип Дирихле), а значит, не существует и биекции между ними. Поэтому множества I_m и I_n имеют различную мощность.
  • Множество называется счётным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел \mathbb{N}. Счётными множествами являются:
    • Множество \mathbb{N}\setminus I_k при любом натуральном k. Соответствие: n\rightarrow n+k.
    • Множество \mathbb{N}\cup \{0\}. Соответствие: n\rightarrow n-1.
    • Множество целых чисел \mathbb{Z}. Соответствие получается при сопоставлении членов ряда 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... его частичным суммам (члены ряда берутся без учёта знака).
    • Множество пар натуральных чисел \mathbb{N}\times\mathbb{N}.
    • Множество рациональных чисел \mathbb{Q} инъективно отображается во множество \mathbb{Z}\times\mathbb{N} (несократимой дроби вида p/q соответствует пара чисел (p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}). Поэтому множество рациональных чисел не более, чем счётно. Но так как оно содержит множество натуральных чисел, то оно и не менее, чем счётно. По теореме Кантора-Бернштейна оно счётно.
  • Бесконечные множества, неравномощные множеству \mathbb{N}, называются несчётными. По теореме Кантора несчётным является множество бесконечных последовательностей, составленных из цифр 0 и 1. Мощность этого множества называется континуум.

Свойства

  • Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
  • Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например |{\mathbb N}|=|\mathbb Z|.
    • Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
  • Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или |2^A| > |A|.
  • С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
  • Мощность декартова произведения:
    |A\times B|=|A|\cdot |B|
  • Формула включения-исключения в простейшем виде:
    |A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|


См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Мощность множества" в других словарях:

  • Мощность множества —         в математике, обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых… …   Большая советская энциклопедия

  • МОЩНОСТЬ — множества понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие число элементов . Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества называются… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МОЩНОСТЬ (в математике) — МОЩНОСТЬ множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие «число элементов». Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества… …   Энциклопедический словарь

  • мощность — и; ж. 1. к Мощный (1 5 зн.). М. голоса. М. землетрясения. Удивиться мощности животного. М. организма. М. угольного пласта. М. государства. Проверить м. армии. 2. Физ., техн. Величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение… …   Энциклопедический словарь

  • Мощность — 1) (в физике) некоторая физическая величина, характеризующая работу в единицу времени (имеет место в механике, электричестве, акустике, оптике и т. д.); 2) (в математике) определяют мощность множества, которая характеризует то общеелчто присуще… …   Начала современного естествознания

  • Мощность (значения) — Мощность: Мощность (в физике и технике) отношение работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. Мощность множества (в математике) число элементов множества. Вычислительная мощность компьютера число операций,… …   Википедия

  • МОЩНОСТЬ — множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие число элементов . М. множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества наз. эквивалентными,… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • МОЩНОСТЬ — кардинальное число, множества А такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, эквивалентному А. При этом два множества наз. эквивалентными (или равно мощным и), если между ними возможно установить взаимно однозначное… …   Математическая энциклопедия

  • Мощность статистических критериев (power of tests) — Проверка гипотезы предполагает сопоставление двух конкурирующих гипотез. Нулевая гипотеза указывает на невозможность редких, необычных событий. Альтернативная гипотеза, напротив, утверждает, что такие события возможны. Напр., нулевая гипотеза… …   Психологическая энциклопедия

  • Упорядоченные и частично упорядоченные множества — (математичексие)         множества, в которых каким либо способом установлен порядок следования их элементов или, соответственно, частичный порядок. Понятия порядка и частичного порядка следования элементов определяются следующим образом. Говорят …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Мощность множества» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.