Мощность множества

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.
3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества $A$ обозначается через $|A|$. Сам Кантор использовал обозначение $\overline{\overline{A}}$. Иногда встречаются обозначения $\# A$ и $\mathrm{card}(A)$.

Определение

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Комментарий

Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является множеством.

Связанные определения

• Мощность множества натуральных чисел ${\mathbb N}$ обозначается символом $\aleph_0$ («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность $\geqslant\aleph_0$ (не меньше мощности множества натуральных чисел), таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются $\aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots$ (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.

• Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом $\mathfrak{c}$. Предположение о том, что $\mathfrak{c}=\aleph_1$, называется континуум-гипотезой.

• Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: «равенство», «больше», «меньше». То есть для любых множеств $A$ и $B$ возможно только одно из трёх:
  1. $|A|=|B|$, или $A$ и $B$ равномощны;
  2. $|A|>|B|$, или $A$ мощнее $B$, т. е. $A$ содержит подмножество, равномощное $B$, но $A$ и $B$ не равномощны;
  3. $|A|<|B|$, или $B$ мощнее $A$ — в этом случае $B$ содержит подмножество, равномощное $A$, но $A$ и $B$ не равномощны.
  • Ситуация, в которой $A$ и $B$ не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).
  • Ситуация, в которой $|A|>|B|$ и $|A|<|B|$, невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Примеры

• Множество называется конечным, если оно равномощно отрезку натурального ряда $I_n = \{1,2,...,n\}$ при некотором неотрицательном целом $n$. Число $n$ выражает количество элементов конечного множества. При $n=0$ множество не содержит элементов (пустое множество). Если $n<m$, то не существует инъективного отображения из $I_m$ в $I_n$ (принцип Дирихле), а значит, не существует и биекции между ними. Поэтому множества $I_m$ и $I_n$ имеют различную мощность.

• Множество называется счётным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел $\mathbb{N}$. Счётными множествами являются:
  • Множество $\mathbb{N}\setminus I_k$ при любом натуральном $k$. Соответствие: $n\rightarrow n+k$.
  • Множество $\mathbb{N}\cup \{0\}$. Соответствие: $n\rightarrow n-1$.
  • Множество целых чисел $\mathbb{Z}$. Соответствие получается при сопоставлении членов ряда $0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...$ его частичным суммам (члены ряда берутся без учёта знака).
  • Множество пар натуральных чисел $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$.
  • Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ инъективно отображается во множество $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$ (несократимой дроби вида $p/q$ соответствует пара чисел $(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$). Поэтому множество рациональных чисел не более, чем счётно. Но так как оно содержит множество натуральных чисел, то оно и не менее, чем счётно. По теореме Кантора-Бернштейна оно счётно.

• Бесконечные множества, неравномощные множеству $\mathbb{N}$, называются несчётными. По теореме Кантора несчётным является множество бесконечных последовательностей, составленных из цифр 0 и 1. Мощность этого множества называется континуум.

• Мощность множества вещественных чисел $\mathbb{R}$ равна континууму.

Свойства

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например $|{\mathbb N}|=|\mathbb Z|$.
  • Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или $|2^A| > |A|$.
• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
• Мощность декартова произведения:

  $|A\times B|=|A|\cdot |B|$

• Формула включения-исключения в простейшем виде:

  $|A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|$

См. также

• Порядковое число

Литература

• А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
• Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3