Континуум (теория множеств)


Континуум (теория множеств)

В теории множеств, конти́нуум (от лат. continuum — непрерывное) — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: \mathfrak{c}. Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством.

Также термин континуум может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Свойства

  • Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счётного множества \aleph_0. Любое континуальное множество имеет счётное подмножество.
  • Континуум не меньше, чем мощность множества всех счётных ординалов \aleph_1. Любое континуальное множество имеет подмножество мощности \aleph_1. Предположение о том, что \mathfrak{c} = \aleph_1 называется континуум-гипотезой.
  • Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.
  • При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, кофинальность (англ.) континуума - несчётна.

Примеры

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

  • Все точки отрезка [0; 1].
  • Все точки плоскости \R^2 (или \R^n).
  • Множество всех иррациональных чисел.
  • Множество всех трансцендентных чисел.
  • Множество всех подмножеств счётного множества.
  • Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
  • Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
  • Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
  • Множество всех непрерывных функций \R \to \R.
  • Множество всех открытых подмножеств плоскости \R^2 (или \R^n).
  • Множество всех замкнутых подмножеств плоскости \R^2 (или \R^n).
  • Множество всех борелевских подмножеств плоскости \R^2 (или \R^n).



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Континуум (теория множеств)" в других словарях:

  • ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — теория, в к рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич.… …   Философская энциклопедия

  • Теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой… …   Википедия

  • ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел математики, исследующий общие свойства множеств. Множеством называется любое объединение в одно целое некоторых определенных и различных между собой объектов нашего восприятия или мысли. В Т. м. изучаются общие свойства различных операций… …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — направление в математич. логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. теории. В более узком смысле… …   Математическая энциклопедия

  • Аксиоматическая теория множеств —         формулировка множеств теории (См. Множеств теория) в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Основным побудительным стимулом для построения А. т. м. явилось открытие в «наивной» теории множеств Г. Кантора.… …   Большая советская энциклопедия

  • Наивная теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… …   Википедия

  • Описательная теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… …   Википедия

  • Континуум — От лат. continuum  непрерывное, сплошное. Континуум (в физике) В математике: Континуум (теория множеств)  множество, равномощное множеству вещественных чисел R, или класс всех таких множеств. Континуум (топология)  связное… …   Википедия

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ —         математик, теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Осн. содержание классич. М. т. было разработано нем. математиком Г.… …   Философская энциклопедия

  • КОНТИНУУМ —         (от лат. continuum непрерывное), термин, используемый ? математике, естествознании и философии. В математике под К. понимаются бесконечные множества, количественно эквивалентные множеству действит. чисел. Мощность, или кардинальное число …   Философская энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.