- Несобственный интеграл
-
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
- Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
- Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Содержание
Несобственные интегралы I рода
Пусть
определена и непрерывна на множестве от
и
. Тогда:
- Если
, то используется обозначение
и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае
называется сходящимся.
- Если не существует конечного
(
или
), то интеграл
называется расходящимся к
, или просто расходящимся.
Пусть
определена и непрерывна на множестве от
и
. Тогда:
- Если
, то используется обозначение
и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае
называется сходящимся.
- Если не существует конечного
(
или
), то интеграл
называется расходящимся к
, или просто расходящимся.
Если функция
определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
, где с — произвольное число.
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Примеры
Несобственные интегралы II рода
Пусть
определена на
, терпит бесконечный разрыв в точке x=a и
. Тогда:
- Если
, то используется обозначение
и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
- Если
или
, то обозначение сохраняется, а
называется расходящимся к
, или просто расходящимся.
Пусть
определена на
, терпит бесконечный разрыв при x=b и
. Тогда:
- Если
, то используется обозначение
и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
- Если
или
, то обозначение сохраняется, а
называется расходящимся к
, или просто расходящимся.
Если функция
терпит разрыв во внутренней точке
отрезка
, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
Пример
Отдельный случай
Пусть функция
определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках
.
Тогда можно найти несобственный интеграл
Критерий Коши
1. Пусть
определена на множестве от
и
.
- Тогда
сходится
2. Пусть
определена на
и
.
- Тогда
сходится
Абсолютная сходимость
Интеграл
называется абсолютно сходящимся, если
сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.Условная сходимость
Интеграл
называется условно сходящимся, если
сходится, а
расходится.
См. также
- Интеграл Римана
- Интеграл Лебега
- Метод Самокиша — численный метод для вычисления интегралов с особенностями.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Викифицировать статью.
Список используемой литературы
Дмитрий Письменный Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.
Категория:- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.