Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

  • Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
  • Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Содержание

Несобственные интегралы I рода

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx . Тогда:

  1. Если \exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx (\pm \infty или \nexists), то интеграл \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от (-\infty, b] и \forall B < b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx . Тогда:

  1. Если \exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx (\pm \infty или \nexists), то интеграл \int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+\infty} f(x)dx, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

\int\limits_{-\infty}^{-1} {1 \over x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \int\limits_{a}^{-1} {1 \over x^2}dx = \lim_{a \to -\infty} \Bigl. -\frac {1} {x} \Bigr|_a^{-1} = 1 + \lim_{a \to -\infty} \frac {1} {a} = 1 + 0 = 1

Несобственные интегралы II рода

Пусть f(x) определена на (a,b], терпит бесконечный разрыв в точке x=a и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta). Тогда:

  1. Если \exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty или  \nexists), то обозначение сохраняется, а \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена на [a,b) , терпит бесконечный разрыв при x=b и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta). Тогда:

  1. Если \exists \lim_{\delta \to 0-0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если \lim_{\delta \to 0-0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty или  \nexists), то обозначение сохраняется, а \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример

\int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln |x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty

Отдельный случай

Пусть функция f(x) определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках x_1,x_2,\dots ,x_k.

Тогда можно найти несобственный интеграл \int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k-1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx

Критерий Коши

1. Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists A(\varepsilon) > a : \forall (A_2 > A_1 > A) \Rightarrow \left|\int\limits_{A_1}^{A_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

2. Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta(\varepsilon) > 0 : \forall (0 < \delta_1 < \delta_2 < \delta) \Rightarrow \left|\int\limits_{a+\delta_1}^{a+\delta_2} f(x)dx\right| < \varepsilon

Абсолютная сходимость

Интеграл \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right) называется абсолютно сходящимся, если \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ называется условно сходящимся, если \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ сходится, а \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ расходится.

См. также


Список используемой литературы

Дмитрий Письменный Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Несобственный интеграл" в других словарях:

  • НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — обобщение понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования …   Большой Энциклопедический словарь

  • несобственный интеграл — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN improper integral …   Справочник технического переводчика

  • несобственный интеграл — обобщение понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования. * * * НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, обобщение понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций …   Энциклопедический словарь

  • НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл от неограниченной функции или от функции по неограниченному множеству. Пусть функция f определена на конечном или бесконечном полуинтервале , и для любого функция f интегрируема но Риману (по Лебегу) на отрезке Тогда предел (в случае… …   Математическая энциклопедия

  • АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — несобственный интеграл, для к рого интеграл от абсолютной величины подинтегральной функции сходится. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится. Пусть дан (для определенности) несобственный интеграл вида: где функция… …   Математическая энциклопедия

  • Интеграл Курцвейля — Интеграл Курцвейля  Хенстока  обобщение интеграла Римана, позволяет полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают… …   Википедия

  • Интеграл Курцвейля-Хенстока — В математике, Интеграл Курцвейля Хенстока является обобщением интеграла Римана, позволяющим полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега… …   Википедия

  • КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ — определенный интеграл от функции нескольких переменных. Имеются различные понятия К. и. (интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Лебега Стилтьеса и др.). Кратный интеграл Римана вводится на основе Жордана меры Пусть Е измеримое по Жордану… …   Математическая энциклопедия

  • Римана интеграл — Геометрический смысл интеграла Римана Интеграл Римана одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла. Содержание 1 Неформальное г …   Википедия

  • Сингулярный интеграл —         1) одно из средств представления функций; под С. и. понимают интеграл вида                  ,          который при n → ∞ сходится (при тех или иных ограничениях на функцию f) к порождающей его функции f (х); функция Kn (x, t) называется… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Несобственный интеграл» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.