Трисекция угла

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что задача разрешима только тогда, когда разрешимо в квадратных радикалах уравнение:

$x^3-3x-2~\cos \alpha = 0.$

Например, трисекция осуществима для углов α = 360°/n при условии, что целое число n не делится на 3. Тем не менее, в прессе время от времени публикуются (неверные) способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой^[1][2][3].

Построения с помощью дополнительных средств

• Хотя трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить. Улитка Паскаля или трисектриса, Квадратриса (в древности тоже называлась трисектрисой), Конхоида Никомеда, Конические сечения, Спираль Архимеда.
• Трисекция возможна при построении с помощью плоского оригами

Трисекция угла при помощи невсиса

Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса

Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Невсис позволяет достаточно просто решить задачу трисекции произвольного угла.

Предположим, что имеется угол α = POM (рис. 1). Необходимо построить угол β, величина которого втрое меньше данного: α = 3β.

Продолжим сторону OM исходного угла и построим на ней как на диаметре окружность произвольного радиуса a с центром в точке O. Стороны угла пересекаются с окружностью в точках P и M. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему a, и используя прямую OM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок AB. Получим угол PAM, равный одной трети исходного угла α.

Доказательство

Рассмотрим треугльник ABO (рис. 2). Так как AB = BO = a, то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: ∟BAO = ∟BOA = β. Угол ∟PBO как внешний угол треугольника ABO равен 2β.

Треугольник BPO также равнобедренный, углы при его основании равны 2β, а угол при вершине γ = 180°-4β. С другой стороны, γ = 180°-β-α. Следовательно, 180°-4β = 180°-β-α и α = 3β.

См. также

• Трисектриса
• Математика в Древней Греции
• Теорема Морлея — свойство трисектрис углов треугольника.
• Доллежаль, Николай Антонович — академик АН СССР (РАН), в возрасте 99 лет опубликовал статью с «решением» (неверным) проблемы трисекции угла^[2].
• Невсис — метод построения, позволяющий выполнить трисекцию угла (не является решением задачи в классической постановке, так как вместо циркуля использует скользящую около полюса линейку).

Примечания

1. ↑ С. Кудряшов Задача Евклида // Газета «Труд». — 2002. — № 073.
2. ↑ ^{1 2} Н. А. Доллежаль Трисекция угла // Наука и жизнь. — 1998. — № 3.
3. ↑ К. Попов Трисекция угла // Юный Техник. — 1994. — № 12. — С. 62-64.

Литература

• Белозёров С.Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов н/Д., 1975.
• История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени.
• В. В. Прасолов Три классические задачи на построение. — М.: Наука, 1992. — Т. 62. — 80 с. — (Популярные лекции по математике).
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — В. 48. — № 4. — С. 3–15.