Асимптота

Асимптота
Для гиперболы y = \frac{1} {x} \! асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее
Затухающие колебания. y = e^{-0.1x}\sin (x) \!. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту
Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Содержание

Виды асимптот графиков

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида ~x = a при условии существования предела \lim_{x \to  a}f(x)= \infty .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

  1. \lim_{x \to  a-0}f(x)=  \infty
  2. \lim_{x \to  a+0}f(x)=  \infty

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида ~y = a при условии существования предела

\lim_{x \to  \pm \infty}f(x)=a.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида ~y=kx+b при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты
  1. \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k
  2. \lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен \infty), то наклонной асимптоты при x \to + \infty(или x \to - \infty) не существует!

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0, то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0, и из выше указанных замечаний следует, что

  1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну вертикальную асимптоту, или одну наклонную и одну вертикальную, или две наклонных, или две вертикальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
  2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.
График функции с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот

  1. Нахождение вертикальных асимптот.
  2. Нахождение двух пределов \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k
  3. Нахождение двух пределов \lim_{x \to  \pm \infty}(f(x)-kx)=b:

если ~k=0 в п. 2.), то ~kx=0, и предел \lim_{x \to  \pm \infty}(f(x)-kx)=b ищется по формуле горизонтальной асимптоты, \lim_{x \to  \pm \infty}f(x)=a.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция ~f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

~f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1}.

При   ~ x \to \infty,   \frac{x+2}{x^2+1} \to 0,   то есть:

\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\lim_{x \to \pm \infty}(2x+5)= \pm \infty,

и ~y=2x+5 является искомым уравнением асимптоты.

Свойства

  • Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[4]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также

Примечания

  1. Двойное ударение поставлено согласно БСЭ и Советскому энциклопедическому словарю.
  2. Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
  3. Математический энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
  4. Taylor C. Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples. — Cambridge: Macmillan, 1863. — С. 170.

Литература

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
  • Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "Асимптота" в других словарях:

  • АСИМПТОТА — (от греч. a отриц. част., и symptotos совпадающий вместе). Прямая линия, постоянно приближающаяся к кривой и встречающаяся с ней только в бесконечности. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АСИМПТОТА от… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • АСИМПТОТА — (от греческого asymptotos несовпадающая), прямая, к которой бесконечная ветвь кривой приближается неограниченно, например асимптота гиперболы …   Современная энциклопедия

  • АСИМПТОТА — (от греч. asymptotos несовпадающий) кривой с бесконечной ветвью прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается, напр., асимптота гиперболы …   Большой Энциклопедический словарь

  • асимптота — Прямая линия, к которой постепенно приближается кривая. [http://www.morepc.ru/dict/] асимптота Прямая, к которой стремится (никогда не достигая ее) имеющая бесконечную ветвь кривая некоторой функции, когда ее аргумент неограниченно возрастает или …   Справочник технического переводчика

  • Асимптота — (от греческого asymptotos несовпадающая), прямая, к которой бесконечная ветвь кривой приближается неограниченно, например асимптота гиперболы.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • АСИМПТОТА — жен., геом. прямая черта, вечно близящаяся к кривой (гиперболе), но никогда с нею не сходящаяся. Пример, для объяснения этого: если какое либо число все делить пополам, то оно будет умаляться до бесконечности, но никогда не сделается нулем.… …   Толковый словарь Даля

  • асимптота — сущ., кол во синонимов: 1 • линия (182) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • Асимптота — (от греч. слов: a, sun, piptw) несовпадающая. Подасимптотой подразумевается такая линия, которая, будучи неопределеннопродолжена, приближается к данной кривой линии или к некоторой ее частитак, что расстояние между общими линиями делается менее… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • Асимптота — поверхности называется прямая линия, пересекающаяповерхность по крайней мере в двух бесконечно удаленных точках …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • АСИМПТОТА — (asymptote) Значение, к которому стремится данная функция при изменении аргумента (argument), но не достигает его ни при одном конечном значении аргумента. Например, если общая стоимость выпуска х задается функцией ТС=а+bх, где а и b – константы …   Экономический словарь

  • Асимптота — [asymptote] прямая, к которой стремится  (никогда не достигая ее), имеющая бесконечную ветвь кривая некоторой функции, когда ее аргумент неограниченно возрастает или уменьшается. Например, в функции:   y = c + 1/x    значение y приближается с… …   Экономико-математический словарь

Книги

  • Наукоскоп. МатематикУМ, Левытченков П.А.. Эта уморительная игра захватит вас надолго! Тяните карту, угадывайте правильный ответ и получайте баллы, а в конце вы узнаете, кто настоящий знаток и профессор, а кто - всего лишь… Подробнее  Купить за 157 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»